Regla del trapecio

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La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

 \int_{a}^{b} f(x)\,dx.

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

y donde el término error corresponde a:

-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo \xi un número perteneciente al intervalo [a,b].

Regla del trapecio compuesta[editar]

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida \int_a^b f(x)\, dx representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho  \Delta x=(b-a)/n.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

\int_a^b f(x)\, dx \sim \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]

Donde \textstyle h= \frac{b-a}{n} y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

\int_a^b f(x) dx \sim \frac{b-a}{n} \left( \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \right)

El error en esta aproximación se corresponde con :

-\frac{(b-a)^3}{12n^2}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo[editar]

\int_1^2 3x\, dx

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: h= \frac{b-a}{n} =\frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}.

Y ahora se sustituye en la fórmula

\int_a^b f(x)\, dx =  \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]

y queda:

\int_1^2 3x\, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} [3(1)+2[3(1+1\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+2\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+3\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+4\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+5\cdot \frac{1}{6})]+3(2)] =  4.5


En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

Véase también[editar]

Referencias[editar]