Números de Stirling

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En matemáticas, los Números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria. Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el siglo XVIII. Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: Números de Stirling de primera especie y Números de Stirling de segunda especie.

Notación[editar]

Existen diversas formas de denotar los números de Stirling. Los números de Stirling del primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica). Las notaciones más comunes son:

 s(n,k)\text{ (signed)}\,
 \left[{n \atop k}\right]=c(n,k)=|s(n,k)|\text{ (unsigned)}\,
 \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=S(n,k)= S_n^{(k)} 
.\,

La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.

Números de Stirling de primera clase[editar]

Números de Stirling de segunda clase[editar]

Fórmula Simétrica[editar]

Abramowitz y Stegun presentan la siguiente fórmula simétrica que relaciona los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie.

\left[{n\atop k}\right] = (-1)^{n-k} \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j {n-1+j \choose n-k+j} {2n-k \choose n-k-j} \left\{{n-k+j\atop j}\right\}

Y

\left\{{n\atop k}\right\} = (-1)^{n-k} \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j {n-1+j \choose n-k+j} {2n-k \choose n-k-j} \left[{n-k+j\atop j}\right].

Referencias[editar]