Espiral dorada

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Espiral áurea construido a partir de la evolución de un rectángulo dorado.

La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.[1] La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada.[2] Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias espirales, ), así como en el arte.

Desarrollo matemático[editar]

La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es: [3]

r = ae^{b\theta}\,

o, de la misma forma

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:

e^{b\theta_\mathrm{recto}}\, = \phi

Por lo tanto, b se encuentra determinado por

b = {\ln{\phi} \over \theta_\mathrm{recto}}.

El valor numérico de b depende de si el angulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivo o negativos segun el signo de θ lo mas sencillo es indicar su valor absoluto:

Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada; cuando se inscribe en cuadrados cuyos lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
|b| = {\ln{\phi} \over 90} = 0.0053468\, para θ en grados;
|b| = {\ln{\phi} \over \pi/2} = 0.306349\, para θ en radianes.

Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:[4]

r = ac^{\theta}\,

donde la constante c está determinada por:

c = e^b\,

para la espiral dorada los valores de c son:

c = \phi ^ \frac{1}{90} \doteq 1.0053611

si θ se mide en grados sexagesimales, y

c = \phi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1.358456.

si θ se mide en radianes.

Aproximaciones a la espiral dorada[editar]

History of Gold. Rersum 2007.jpg

Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales.[5] Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.

Generación[editar]

Espirales doradas
Mediante convolución de rectas  
La cáscara de un Nautilus  
Espiral en el triángulo y su serie de Fibonnaci  


Referencias[editar]

  1. Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124
  2. Chang, Yu-sung, "Golden Spiral", The Wolfram Demonstrations Project.
  3. Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. 2005. pp. 127–129. ISBN 1402735227. 
  4. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. 1996. pp. 45, 199–200. ISBN 3110129906. http://books.google.com/books?id=rqzaQo6CaA0C&pg=PA200&dq=%22golden+spiral%22+log. 
  5. Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press. 1999. pp. 14–16. ISBN 0967172764. http://books.google.com/books?id=JhnERQLm4lUC&dq=rectangles+approximate+golden-spiral. 

Referencias externas[editar]