Diferencia entre revisiones de «Perpendicularidad»
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* Los lados de un ángulo recto y sus [[Semirrecta opuesta|semirrectas opuestas]], determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares). |
* Los lados de un ángulo recto y sus [[Semirrecta opuesta|semirrectas opuestas]], determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares). |
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==Postulado de unicidad== |
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Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el [[Congruencia (geometría)#Congruencia de triángulos|teorema de congruencia SSS]] para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el [[Congruencia (geometría)#Congruencia de triángulos|teorema de congruencia SAS]] para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales. |
Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el [[Congruencia (geometría)#Congruencia de triángulos|teorema de congruencia SSS]] para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el [[Congruencia (geometría)#Congruencia de triángulos|teorema de congruencia SAS]] para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales. |
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sipuea aja hojala si podes |
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== Con relación a líneas paralelas == |
== Con relación a líneas paralelas == |
Revisión del 19:43 13 may 2010
- Para el término náutico semejante, véase perpendicular de proa y popa.
En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
- Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares, cuando conforman cuatro ángulos rectos. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
- Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos; generalmente, con el mismo punto de origen.
- Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
- Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.
Propiedades
- Simétrica: Si una figura geométrica es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
- Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.
- Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas, determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).
Postulado de unicidad
En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.
Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado
Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue:
- Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.
- Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos.
- Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.
Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.
Con relación a líneas paralelas
Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea.
En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás:
- Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto.
- Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes.
- La línea c es perpendicular a la línea a.
- La línea c es perpendicular a la línea b.
Véase también
Enlaces externos
- Definición: perpendicular Con animación (en inglés)
- Cómo dibujar un bisector perpendicular de una línea con regla y compás Con animación (en inglés)
- Cómo dibujar una perpendicular al final de una línea con regla y compás Con animación (en inglés)