Función inyectiva

Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función $f\colon X\to Y\,$ es inyectiva si a cada valor del conjunto $A\,$ (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto $B\,$ (imagen) de $f\,$. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, dada por $f(x)=x^{2}\,$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como $f(2)$ y $f(-2)$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función $g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

De manera más precisa, una función $f:X\to Y\,$ es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

• Si $x_{1},x_{2}$ son elementos de $X\,$ tales que $f(x_{1})=f(x_{2})$, necesariamente se cumple $x_{1}=x_{2}$.
• Si $x_{1},x_{2}$ son elementos diferentes de $X\,$, necesariamente se cumple $f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función inyectiva $\scriptstyle f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen:

${\mbox{card}}(A)\leq {\mbox{card}}(B)$

Si además existe otra aplicación inyectiva $\scriptstyle g:B\to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Véase también

• Función biyectiva
• Función sobreyectiva
• Correspondencia unívoca