Diferencia entre revisiones de «Grupo simétrico»
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[[Image:GrapheCayley-S4-Plan.svg|thumb|200px|[[Grafo de Cayley]] de un grupo simétrico de orden 4 (''S''<sub>4</sub>) representado como el grupo de rotaciones de un [[dado]] convencional.]] |
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En [[matemáticas]], el '''grupo simétrico''' sobre un [[conjunto]] ''X'', denotado por S<sub>''X''</sub> es el [[grupo]] formado por las funciones biyectivas ([[permutación|permutaciones]]) de ''X'' en sí mismo. |
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Los subgrupos de S<sub>''X''</sub> se denominan ''grupos de permutaciones''. El [[Teorema de Cayley]] afirma que todo grupo G es isomorfo a un grupo de permutaciones (ie: un subgrupo del simétrico). |
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De especial relevancia es el grupo simétrico sobre el conjunto finito ''X'' = {1,...,''n''}, denotado por S<sub>''n''</sub>. El grupo S<sub>''n''</sub> tiene orden n! y no es [[grupo abeliano|abeliano]] para n>2. |
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<!--==Introducción== |
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Antiguamente, se definía una '''permutación''' así: Sea un número ''n'' de objetos, (n>1), alineados en una mesa con el fin de poder atribuir a cada cual su rango: el objeto más a la izquierda es el primero, el que sigue el segundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelven a colocar en una fila, en cualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos, o, lo que viene a ser lo mismo, los números de 1 a ''n''.<br /> |
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Si el objeto que se encuentra actualmente a la izquieda era antes el quinto de la fila, si el que se encuentra a su derecha era el séptimo ... y el que está al final era el segundo ... entonces la actual permutación está caracterizada por los serie de números ( 5, 7, ..., 2). |
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La definición moderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de los objetos. <br /> |
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Para conocer la permutación, sólo se necesita conocer la serie de números (5, 7, ..., 2) en el ejemplo. Se dice que 5 es la imagen de 1 por la permutación, 7 es la imagen de 2, ...y 2 es la imagen de ''n''. De este punto de vista, una permutación es una aplicación biyectiva de ''{1,...,n}'' hacia ''{1,...,n}''. Es biyectiva porque a cada posición anterior de un objeto corresponde una única posición actual.--> |
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== Composición de permutaciones == |
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Hay diversas [[permutación#En Teoría de grupos|formas de representar una permutación]]. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....<br /> |
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Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de [[función compuesta|composición de funciones]]: |
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{| |
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|Si |
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|<math> |
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\sigma = |
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\begin{pmatrix} |
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1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
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3 & 2 & 4 & 6 & 5 & 1 \\ |
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\end{pmatrix} |
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</math> |
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| y |
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| <math> |
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\tau = |
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\begin{pmatrix} |
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1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
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4 & 1 & 2 & 5 & 3 & 6 \\ |
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\end{pmatrix} |
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</math> |
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|} |
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su composición es: |
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<math> |
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\tau \circ \sigma = |
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\begin{pmatrix} |
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1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
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2 & 1 & 5 & 6 & 3 & 4 \\ |
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\end{pmatrix} |
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</math> |
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El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:<br /> |
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<center> |
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[[Imagen:composicion de permutaciones.svg|600px]] |
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</center> |
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== Una presentación del grupo == |
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=== Generadores === |
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Recordemos que una '''trasposición''' es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. |
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Toda permutación se [[Permutación#Descomposición de una permutación en trasposiciones|descompone como producto de trasposiciones]]. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de <math>S_n</math>. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma <math>\tau_i=(i,i+1)</math>. En efecto, para ''i<j'' podemos descomponer cualquier trasposición en la forma: |
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:<math>(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)</math> |
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=== Relaciones elementales === |
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Estos generadores permiten definir una [[presentación de grupo|presentación]] del grupo simétrico, junto con las relaciones: |
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*<math>{\tau_i}^2 = 1\, </math>, |
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*<math>\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si } |j-i| > 1\,</math>, |
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*<math>{(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.\,</math>. |
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=== Otros generadores === |
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Es posible igualmente usar como sistema de generadores: |
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*Las trasposiciones de la forma ''(1 i)'', con ''i>1''. |
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* El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición ''σ=(1 2)'' y el [[ciclo (permutación)|ciclo]] ''c=(1 2 ... n)''. |
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== Clases de conjugación == |
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Recordemos que toda permutación puede ser descrita como [[permutación#Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos|producto de ciclos disjuntos]], y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de S<sub>''n''</sub> se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en S<sub>''n''</sub> si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S<sub>5</sub>, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no. |
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El grupo ''S''<sub>3</sub>, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos: |
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*La identidad (abc → abc) (1) |
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*Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3) |
*Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3) |
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*Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2) |
*Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2) |
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El grupo ''S''<sub>4</sub>, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación: |
El grupo ''S''<sub>4</sub>, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación: |
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*La identidad (1) |
*La identidad (1) |
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*Las permutaciones que intercambian dos elementos (6) |
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*Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8) |
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*Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6) |
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*Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3) |
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En general, cada clase de conjugación en ''S''<sub>n</sub> se corresponderá con una [[partición (teoría de números)|partición entera]] de ''n'' y podrá ser representada gráficamente por un [[diagrama de Young]]. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente: |
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# 1 + 1 + 1 + 1 |
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# 2 + 1 + 1 |
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# 3 + 1 |
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# 4 |
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# 2 + 2 |
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== Representaciones del grupo == |
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Si asociamos a cada permutación su [[matriz permutación]] obtenemos una representación que en general no es irreducible.<ref>Sternberg, S. ''Group Theory and Physics''. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1</ref> |
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=== Representaciones irreducibles === |
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== Referencias == |
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{{listaref}} |
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[[Categoría:Combinatoria]] |
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[[Categoría:Teoría de grupos]] |
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[[Categoría:Simetría]] |
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[[ca:Grup simètric]] |
[[ca:Grup simètric]] |
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[[de:Symmetrische Gruppe]] |
[[de:Symmetrische Gruppe]] |
Revisión del 17:02 20 abr 2010
En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto X, denotado por SX es el grupo formado por las funciones biyectivas (permutaciones) de X en sí mismo.
Los subgrupos de SX se denominan grupos de permutaciones. El Teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un grupo de permutaciones (ie: un subgrupo del simétrico).
De especial relevancia es el grupo simétrico sobre el conjunto finito X = {1,...,n}, denotado por Sn. El grupo Sn tiene orden n! y no es abeliano para n>2.
Composición de permutaciones
Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....
Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:
Si | y |
su composición es:
El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:
Una presentación del grupo
Generadores
Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de . Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma . En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:
Relaciones elementales
Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:
- ,
- ,
- .
Otros generadores
Es posible igualmente usar como sistema de generadores:
- Las trasposiciones de la forma (1 i), con i>1.
- El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).
Clases de conjugación
Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.
El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:
- La identidad (abc → abc) (1)
- Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
- Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)
El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:
- La identidad (1)
- Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
- Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
- Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
- Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)
En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:
- 1 + 1 + 1 + 1
- 2 + 1 + 1
- 3 + 1
- 4
- 2 + 2
Representaciones del grupo
Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.[1]
Representaciones irreducibles
Referencias
- ↑ Sternberg, S. Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1