Teorema de Cayley

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El Teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Todo grupo es isomórfico a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomórfico a un subgrupo de S_n



Demostración[editar]

Sea G un grupo y g un elemento de este grupo.Definimos la aplicacióntPlantilla:Ind de G en G como la traslación a la izquierda :

\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx.

La asociatividad de la ley de grupos confirma que :

(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h.

Se deduce en particular que tPlantilla:Ind es una permutación de biyeccion recíproca t_{g^{-1}}), lo que permite definir una aplicación \varphi de G en S(G) por :

\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g
  • Por tanto, laimagen de \varphi, notada Im(\varphi), es un subgrupo de S(G).
  • Demostremos que \varphi es inyectiva. Para ello consideremos g y h dos elementos del grupo. Si tPlantilla:Ind y tPlantilla:Ind son iguales, entonces las imágenes del elemento neutro por dos aplicaciones también son iguales y g es igual a h. Esto prueba que la aplicación es efectivamente inyectiva.
  • La aplicación G en Im(\varphi) que a todo elemento g~ de G asocia \varphi(g) est entonces también un morfismo inyectivo. Además es sobreyectiva por propia construcción, y por tanto un isomorfismo de grupos. Así pues, G es isomorpho a su imagen, un subgrupo de S(G).

Bibliografía[editar]

David Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349.