Diferencia entre revisiones de «Espacio vectorial normado»
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Revisión del 21:00 9 abr 2010
En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:
- En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.
- Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.
- Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach.
Definición
Un espacio vectorial V sobre un cuerpo en el que se define un valor absoluto (generalmente o ) se dice que es normado si en él se puede definir una norma, es decir, una aplicación , que verifica:
- No negatividad. Para todo de su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si es el vector cero: si y .
- Homogeneidad. Para todo de y para todo k de se satisface que · donde | | es el módulo o valor absoluto.
- Desigualdad triangular. Para todos e de se cumple que .
Generalmente se denotará a al espacio vectorial normado y cuando la norma sea clara simplemente por .
Ejemplos
De dimensión finita
- El espacio euclídeo .
- Las matrices cuadradas de orden n sobre :
De dimensión infinita
Distancia inducida
En todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia :
con la cual (V,d) es un espacio métrico.
Espacios vectoriales normados de dimensión finita
Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):
- Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El resultado no es cierto para espacios de dimensión infinita siendo siempre posible encontrar dos normas que no son equivalentes.
- El espacio es completo, es decir, es un espacio de Banach. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
- Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
- Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.
- Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunto del espacio vectorial es compacto si y solo si es cerrado y acotado.