Espacio compacto

En topología, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La propiedad de compacidad es una versión más fuerte de esta propiedad.

Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un conjunto compacto.

Definición

Definición general

La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de recubrimiento abierto:

Un recubrimiento abierto de un subconjunto A ⊆ X de un espacio topológico, es una familia de conjuntos abiertos {Oi}i ∈ I de X, tales que su unión "cubre" a A : $\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A$

Dado un recubrimiento C de un conjunto A, un subrecubrimiento D es una subfamilia de C, D ⊆ C que sigue siendo un recubrimiento de A —es decir, una subcolección de conjuntos de C que aún cubre a A—.

La definición de compacidad es entonces:

Un espacio topológico X se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X cualquiera, existe un subrecubrimiento finito del mismo.

Ejemplos.

• El conjunto K = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} ⊆ R con la topología heredada de la estándar de R es compacto. Dado un entorno de 0, este incluye a todos los 1/n salvo un número finito —puesto que la sucesión {1/n}_{n ∈ N} converge a 0—. Por tanto, dado un recubrimiento abierto de K, tomando un abierto O que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/n no contenido en O, esta subcolección finita cubre a K.
• El intervalo abierto (0, 1) ⊆ R no es compacto (con la topología usual heredada de R). La familia { (0, 1 − 1/n) }_{n > 1} es un recubrimiento abierto del intervalo, pero dada cualquier subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/k) en ella que contiene a los demás —buscando aquel con k mínimo—. Como 1 − 1/p no está en (0, 1 − 1/k) si p > k, ninguna subfamilia finita cubre (0, 1).

Caracterizaciones equivalentes

La compacidad de un espacio admite varias formulaciones alternativas:

Las siguientes afirmaciones sobre un espacio topológico X son equivalentes entre sí: X es compacto. Si {Fi}i ∈ I es una familia de subconjuntos cerrados en X con la propiedad de la intersección finita, entonces ∩IFi ≠ ∅. Toda red en X admite una subred convergente. La función al punto $X\to\ast$ es propia.

Compacidad en espacios métricos

Un subconjunto A de un espacio métrico y, en particular, del espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$, es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: toda sucesión en $A$ admite una subsucesión convergente.

Ejemplos

• El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un intervalo cerrado de la recta.
• Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del espacio euclídeo.
• Un ejemplo de espacio no compacto es la recta real, pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito.
• Tampoco es compacto el conjunto de los números racionales, pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.

Teoremas asociados a la compacidad

Teorema de Heine-Borel

Por el teorema de Heine-Borel, un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Para subconjuntos del espacio euclídeo, basta con que éste sea cerrado y acotado, que es una caracterización útil.

Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad.

Véase también

• Localmente compacto
• Soporte compacto

Referencias

• Ivorra, Carlos, Análisis, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf, consultado el 21-05-2011 .
• Munkres, James (2001). Topología. Pearson Educación. ISBN 9788420531809.