Vector unitario

En álgebra lineal y en la Física, un vector unitario o versor es un vector de módulo uno.

En ocasiones se lo llama también vector normalizado.

Notación

Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre, como $\mathbf {\hat {r}}$ (se lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una breve ($\mathbf {\breve {r}} \,$) también es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector $\mathbf {r} \,$ en la forma $\mathbf {u} _{\text{r}}\,$.

Definición

Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición simbólica de vector unitario.

Sea el vector v ∈ ℝⁿ. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante $\mathbf {\hat {v}}$ si y solamente si |v| = 1.

O en forma más compacta:

$\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv \mathbf {\hat {v}} \Leftrightarrow |\mathbf {v} |=1$

Versor asociado a un vector

Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que un vector dado $\mathbf {v} \,$. A tal vector se lo llama versor asociado al vector $\mathbf {v} \,$ y se puede representar bien sea por ${\hat {\mathbf {v} }}\,$ o por $\mathbf {u} _{v}\,$ e indica una dirección en el espacio.

La operación vectorial que permite modificar el módulo de un vector sin alterar su dirección y sentido es dividirlo por su módulo, de modo que

$\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}$

Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se lo llama normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

El método para transformar una base ortogonal (obtenida, por ejemplo mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt) en una base ortonormal (es decir, una base en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilitando la ecuación anterior.

Producto escalar de dos vectores

En el espacio euclídeo, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:

$\mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =|\mathbf {\hat {u}} ||\mathbf {\hat {v}} |\cos \theta$

Pero:

$|\mathbf {\hat {u}} |=|\mathbf {\hat {v}} |=1$

Por lo tanto:

$\mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos \theta$

donde θ es el ángulo entre ambos vectores.

Proyección escalar

De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un vector es la proyección escalar del vector sobre la dirección determinada por el vector.

$\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} ||\mathbf {\hat {n}} |\cos \theta$

Como el módulo del vector $\mathbf {\hat {n}}$ es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:

$\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} |\cos \theta$

de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado.

Este resultado es muy frecuente en física, donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes ortogonales a una superficie.

Versores cartesianos

Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos $x,\,y,\,z\,$ se designan por $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \,$, respectivamente.

Los versores cartesianos permiten expresar analíticamente los vectores por medio sus componentes cartesianas.

Ejemplo: la expresión analítica del vector ${\mathbf {v} =(1,-2,3)\,}$ es

${\mathbf {v} =\mathbf {i} -2\mathbf {j} +3\mathbf {k} }$

Véase también

• Vector
• Base ortonormal
• Coordenadas
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
• Coordenadas curvilíneas