Conectiva lógica

En lógica, una conectiva lógica, también llamada operador lógico o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta dependa del valor de verdad de las fórmulas componentes.

En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados.

Conectivas

Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad. A continuación se incluyen las tablas de verdad que definen a las conectivas lógicas más usuales:

Negación

La negación es la única conectiva unaria (de modo que estrictamente hablando, no conecta). Antepuesta a una fórmula verdadera, devuelve una falsedad, y antepuesta a una fórmula falsa, devuelve una verdad. Por ejemplo, si una proposición como "hace frío" es verdadera, entonces "no hace frío" será falsa; y si en cambio "hace frío" es falsa, entonces "no hace frío" será verdadera. Este comportamiento queda capturado por la siguiente tabla de verdad:

${\begin{array}{|c||c|}\phi &\neg \phi \\\hline 1&0\\0&1\\\hline \end{array}}$

Otra manera de definir el significado de la negación es a través de sus reglas de introducción y eliminación. Según esta propuesta, comprender el uso del signo es suficiente para comprender su significado, y el uso del signo queda capturado por sus reglas de introducción y eliminación. Las mismas son:

• Introducción de la negación:

Si suponer $\phi \,$ lleva a una contradicción, entonces se puede inferir que $\neg \phi \,$ (reducción al absurdo).

• Eliminación de la negación:

$\neg \neg \phi \vdash \phi$

Un ejemplo del uso de la primera regla podría ser: supongamos que es de noche; sin embargo, está soleado, y sabemos que si está soleado entonces no es de noche. Esto significa que nuestro supuesto lleva a una contradicción. Por lo tanto, no es de noche. En cambio, un ejemplo del uso de la segunda regla podría ser: supongamos que no es cierto que no es el primer día del año. Luego, es el primer día del año.

Conjunción

${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \land \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\hline \end{array}}$

Disyunción

${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \lor \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\\hline \end{array}}$

Condicional material

${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \to \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\hline \end{array}}$

Bicondicional

${\begin{array}{|c|c||c|}\phi &\psi &\phi \leftrightarrow \psi \\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\hline \end{array}}$

Otras conectivas

${\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\phi &\psi &\top &\lor &\leftarrow &\phi &\to &\psi &\leftrightarrow &\land &\uparrow &\not \leftrightarrow &\neg \psi &\not \to &\neg \phi &\not \leftarrow &\downarrow &\bot \\\hline 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&1&0&0&0&0&1&1&1&1&0&0&0&0\\0&1&1&1&0&0&1&1&0&0&1&1&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0\\\hline \end{array}}$

Donde:

• $\top \,$ es una tautología.
• $\lor \,$ es la disyunción.
• $\leftarrow \,$ es el condicional material inverso.
• $\to \,$ es el condicional material.
• $\leftrightarrow \,$ es el bicondicional.
• $\land \,$ es la conjunción.
• $\uparrow \,$ es la negación alternativa, incompatibilidad, o "NAND".
• $\not \leftrightarrow \,$ es la disyunción exclusiva, contravalencia o "XOR".
• $\not \to \,$ es la negación del condicional material.
• $\not \leftarrow \,$ es la negación del condicional inverso.
• $\downarrow \,$ es la negación conjunta, o "NOR".
• $\bot \,$ es una contradicción.

Véase también

• Cálculo
• Función de verdad
• Lógica proposicional
• Puerta lógica
• Tabla de valores de verdad