Diferencia entre revisiones de «Ecuación diferencial de Bernoulli»
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Línea 30: | Línea 30: | ||
===Caso particular: α = 1=== |
===Caso particular: α = 1=== |
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En este caso la solución viene dada por: |
En este caso la solución viene dada por: |
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{{Ecuación|<math>\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C</math>|5|left}} |
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== Ejemplo == |
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Para resolver la ecuación: |
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{{ecuación| |
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<math>\qquad xy'+y=x^4y^3</math> |
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|*|left}} |
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Se hace el [[cambio de variable]] <math>z=y^{-2}\;</math>, que introducido en {{eqnref|*}} da simplemente: |
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{{ecuación|<math> |
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y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'</math> |
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|**|left}} |
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Multiplicando la ecuación anterior por el factor: <math>\frac{2y}{x};</math> se llega a: |
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{{ecuación| |
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<math>\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4</math> |
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||left}} |
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Si se sustituye {{eqnref|**}} en la última expresión y operando: |
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{{ecuación| |
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<math>-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad |
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z'-\frac{2z}{x}=-2x^3</math> |
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||left}} |
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Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el [[factor integrante]] típico de la ecuación de Bernouilli: |
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{{ecuación| |
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<math>e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}</math> |
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||left}} |
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Y se resuelve ahora la ecuación: |
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{{ecuación| |
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<math>\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1</math> |
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||left}} |
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Deshaciendo ahora el cambio de variable: |
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{{ecuación| |
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<math>\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4</math> |
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||left}} |
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Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue <math>z=y^{-2}\;</math>: |
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{{ecuación| |
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<math>\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad |
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y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}</math> |
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||left}} |
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Revisión del 11:52 23 feb 2010
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
donde y son funciones continuas en un intervalo
Método de resolución
Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:
lleva inmediatamente a las relaciones:
Gracias a esta última relación se puede reescribir (
) como:(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)
Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en ( ) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye (
) en la última expresión y operando:Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
Bibliografía
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.