Serie (matemática)

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos $a_{n}$ como $\sum _{i=1}^{N}a_{i}$ donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, $i=1,2,3,\ldots$.

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si $\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ no existe o si tiende a infinito; converge si $\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=L$ para algún $L\in \mathbb {R}$.

Algunos tipos de series

• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

$\sum _{n=0}^{\infty }az^{n}={a \over 1-z}$

• La serie armónica es la serie

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

La serie armónica es divergente.

• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.$

• Una serie telescópica es la suma $\textstyle \sum a_{n}$, donde a_n = b_n − b_n+1. Se representa de la siguiente manera:

$\sum _{n=0}^{N}(b_{n}-b_{n+1})$

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

$S_{N}=(b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+\cdots +(b_{N-1}-b_{N})+(b_{N}-b_{N+1})=b_{0}-b_{N+1}$

• Una serie hipergeométrica​ es una serie de la forma $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,$, que cumple que ${a_{n+1} \over a_{n}}\,$ = ${\alpha n+\beta } \over {\alpha n+\gamma }\,$.

Sumas conocidas

$\sum _{i=1}^{r}i={r(r+1) \over 2}.$

$\sum _{i=1}^{r}i^{2}={r(r+1)(2r+1) \over 6}.$

$\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{i}j=\sum _{i=1}^{r}{i(i+1) \over 2}={1 \over 2}\sum _{i=1}^{r}(i^{2}+i)={1 \over 2}\sum _{i=1}^{r}i^{2}+{1 \over 2}\sum _{i=1}^{r}i.$

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ($\pm \infty$ u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ sea divergente, se cumple que $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}\neq 0$

Sin embargo, si resulta que $\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0$, entonces la condicion no da criterio acerca de su convergencia o divergencia y se tendra que buscar metodos distintos para averiguar si converge o diverge.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Demostración:

Por Hipótesis:

$S_{k}=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}$

$\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}=S$ para todo $S\,\in \,\mathbb {R}$

Sabemos que $S_{k-1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{k-1}$ y que $\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k-1}=S$ para todo $S\,\in \,\mathbb {R}$

Por lo tanto teniendo en cuenta que $S_{k}-S_{k-1}=a_{k}$ entonces $\lim _{k\rightarrow \infty }(S_{k}-S_{k-1})=S-S=\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0$

Queda demostrada la proposición.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que $a_{k}>0$ ( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=L$

con $L\,\in \,[0,+\infty )$, el Criterio de D'Alembert establece que:

• si $L<1$, la serie converge.
• si $L>1$, entonces la serie diverge.
• si $L=1$, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que $a_{k}>0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}=L$, siendo $L\,\in \,[0,+\infty )$

Entonces, si:

• $L<1$, la serie es convergente.
• $L>1$ entonces la serie es divergente.
• $L$=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

k puede valer 0.

Sea una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que $a_{k}>0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim _{k\rightarrow \infty }k\left(1-{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right)=L$, siendo $L\,\in \,(-\infty ,+\infty )$

Por tanto, si $L>1$, entonces la serie es convergente y si $L<1$, la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum {a_{n}}$ converge si y sólo si $\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$ es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

$\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$

converge sí y sólo sí la integral

$\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$

converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea $\sum {a_{n}}$ una serie monótona de números positivos decrecientes. $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ converge si y sólo si la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}a_{2^{n}}}$ converge.

Criterio de Leibnitz

Una serie de la forma $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{a_{n}}$ (con $a_{n}\geq 0$) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) $\lim _{k\rightarrow \infty }(-1)^{n}a_{k}=0$ para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: $|{a_{k}}|\geq |a_{k+1}|$

Si esto se cumple la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$ es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de $\sum _{n=1}^{\infty }|{a_{n}}|$ antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra seríe $\sum (b_{n})$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la seríe geométrica. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si $0<a_{n}\leq b_{n},\forall n\geq n_{0}$

• Si $\sum (b_{n})$ converge $\Rightarrow \sum (a_{n})$ converge
• Si $\sum (a_{n})$ diverge $\Rightarrow \sum (b_{n})$ diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

$\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {a_{k}}{b_{k}}}\right)=L$

Entonces:

• Si $L=0$ y $\sum (b_{n})$ converge $\Rightarrow \sum (a_{n})$ converge
• Si $L=\infty$ y $\sum (b_{n})$ diverge $\Rightarrow \sum (a_{n})$ diverge
• En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Tipos de convergencia

Convergencia absoluta

Una serie alternada $a_{n}$ converge absolutamente si

$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{a_{n}}\right|$

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Véase también

• Serie de Taylor

• 1 - 2 + 3 - 4 + . . .

• Fórmula de Faulhaber