Serie armónica (matemática)

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Serie armónica se define en matemáticas como la siguiente serie infinita:


\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdots

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones unitarias: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Propiedades[editar]

Divergencia de la serie armónica[editar]

La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos que 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la agrupación de los términos de la serie armónica:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \cdots

son mayores, que esta otra serie:

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =
 1 + \frac{1}{2} + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \cdots
 = 1 + \frac{1}{2}\ + \quad \frac{1}{2} \quad + \qquad\quad\quad\frac{1}{2}\qquad \quad + \quad \cdots

que está claro que diverge y por consecuencia la serie armónica también diverge. Esta prueba fue dada por Nicolás Oresme en (1350) y fue un gran paso para las matemáticas medievales en particular.

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternada[editar]

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Serie armónica parcial[editar]

Representación[editar]

Si definimos el n-ésimo número armónico como:

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

\int_1^n {1 \over x}\, dx

cuyo valor es log(n).

Con más precisión, tenemos el límite:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Se puede demostrar que:

  1. El único Hn que es entero es H1.
  2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.


Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:

 H_n = \int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x} \, dx

dada[1] por Leonhard Euler.

Y también

 H_n = \Psi (n+1) + \gamma \,\!

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Conexión con la hipótesis de Riemann[editar]

Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

\sigma(n)\le H_n + \log(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para todo }n\in\mathbb{N}

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.[2]

Serie armónica generalizada[editar]

Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

p-series[editar]

La p-serie es (cualquiera de) las series

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.

Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

Relaciones de la Serie Armónica[editar]

Relaciones algebraicas definidas entre la función polinomial F(x,j,k=n) y la serie Serie Armónica parcial


 F(x,j,k=n) = \prod_{j=1}^{j=k}(x+j) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k}
H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}


Temas relacionados[editar]

Notas[editar]

  1. Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum
  2. (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002), páginas 534--543.)

Referencias[editar]

  • Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41
  • Many proofs of divergence of harmonic series : "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31-43. (en inglés)
  • An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.
  • Oresme, N. (1350) "Quaestiones super geometriam Euclidis", Edited by H. L. L.Busard. Janus, suppléments, Vol. III, E. J. Brill, Leiden, 1961.

Enlaces externos[editar]