Diferencia entre revisiones de «Identidad de Euler»

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Revisión del 11:57 4 dic 2009

Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

donde:

Una curiosidad de esta fórmula es que, si la escribimos de esta manera:

representa la evolución del concepto de número a lo largo de la historia. Desde el concepto más intuitivo, los números naturales, conocidos desde la prehistoria, añadiendo los números negativos (representados por -1) obtenemos los números enteros. Luego, añadiendo las fracciones (no aparecen) obtenemos los racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) obtenemos los números reales. Y finalmente, añadiendo los números imaginarios (representados por i) obtenemos los números complejos.

Volviendo a la primera fórmula, se puede ver que también cuenta la historia de una evolución en las matemáticas, en este caso de las operaciones aritméticas. Aparecen una suma, un producto y una potencia.

Derivación

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

entonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad


Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Referencias

  • Weisstein, Eric W. «Euler Formula». MathWorld--A Wolfram Web Resource (en inglés). Consultado el 15 de mayo de 2009. 

Véase también