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Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.^[1]

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Véase también: hipérbole

Historia

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,^[2] donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.^[3]

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,^[4] considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

Ecuación de una hiperbola con centro en el origen de coordenadas $(0,0)\,$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h,k)\,$

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1

Ejemplos:

a)

{\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1

b)

{\frac {(x)^{2}}{9}}-{\frac {(y)^{2}}{25}}=1

Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

r^{2}=a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

r^{2}=-a\sec 2\theta \,

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

r^{2}=a\csc 2\theta \,

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

r^{2}=-a\csc 2\theta \,

Ecuaciones paramétricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

{\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\ \operatorname {senh} \ t+k\\\end{matrix}}

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

{\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=a\ \operatorname {senh} \ t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}

Véase también

Referencias

↑ Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será una elipse. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular al eje.
↑ Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.
↑ Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en inglés). Consultado el 2008-06-02|fechaacceso= y |Añoacceso= redundantes (ayuda).
↑ J. J. O'Connor y E. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hipérbola.
Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica hipérbola

[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será una elipse. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular al eje.

[Heath-2] Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.

[3] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en inglés). Consultado el 2008-06-02|fechaacceso= y |Añoacceso= redundantes (ayuda).

[4] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (en inglés). Consultado el 2 de junio de 2008.

[1]

[2]

[3]

[4]

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-Una '''hipérbola'''  es una [[sección cónica]], una [[curva]] abierta de dos ramas obtenida al cortar un [[cono (geometría)|cono]] recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la [[generatriz]] respecto del eje de revolución.<ref>Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido entre la [[generatriz]] y el eje de revolución, la intersección será una [[elipse]]. Será una [[parábola (matemática)|parábola]] si es paralelo al citado eje, y una [[circunferencia]] si es perpendicular al eje.</ref>
+Una '''hipérbola''' (del griego ὑπερβολή) es una [[sección cónica]], una [[curva]] abierta de dos ramas obtenida al cortar un [[cono (geometría)|cono]] recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la [[generatriz]] respecto del eje de revolución.<ref>Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido entre la [[generatriz]] y el eje de revolución, la intersección será una [[elipse]]. Será una [[parábola (matemática)|parábola]] si es paralelo al citado eje, y una [[circunferencia]] si es perpendicular al eje.</ref>
+{{Definición|Una '''hipérbola''' es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados [[Foco (geometría)|focos]], es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.}}
- Etimología. Hipérbole e hipérbola Hipérbola exageración
+[[Archivo:Cono y secciones.svg|thumb|Secciones cónicas.]]
+== Etimología. Hipérbole e hipérbola ==
+''Hipérbola'' deriva de la palabra [[griega]] ὑπερβολή (''exceso''), y es [[cognado]] de ''hipérbole'' (la figura literaria que equivale a ''exageración'').
+{{VT|hipérbole}}
+== Historia ==
+[[Archivo:Cono - hipérbola.svg|thumb|Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.]]
+Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la [[duplicación del cubo]],<ref name="Heath">{{cita libro | apellidos = Heath | nombre = Sir Thomas | título = A history of Greek Mathematics vol. 1 | año = 1921 | editorial = Londres, Inglaterra: Oxford University Press | idioma=inglés | id = {{OCLC|2014918}} }}</ref> donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por [[Proclo]] y [[Eratóstenes]].<ref>{{cita web |url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers1999/schmarge.html |título=Conic Sections in Ancient Greece |fechaacceso=2008-06-02|añoacceso=2008 |autor=Ken Schmarge | idioma=inglés}}</ref>
+Sin embargo, el primero en usar el término ''hipérbola'' fue [[Apolonio de Perge]] en su tratado ''Cónicas'',<ref>{{cita web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius.html|título=Apollonius of Perga|fechaacceso=2008-06-02|idioma=inglés|autor=J. J. O'Connor y E. F. Robertson}}</ref> considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las [[tangente]]s a secciones cónicas.
+== Ecuaciones de la hipérbola ==
+Ecuaciones en [[coordenadas cartesianas]]:
+Ecuación de una hiperbola con centro en el origen de coordenadas <math>(0, 0) \,</math>
+:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
+Ecuación de una hipérbola con centro en el punto <math>(h, k) \,</math>
+:<math>\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 </math>
+Ejemplos:
+a)
+:<math>\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1 </math>
+b)
+:<math>\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1 </math>
+== Ecuaciones en [[coordenadas polares]] ==
+[[Archivo:Drini-conjugatehyperbolas.png|thumb|Dos hipérbolas y sus [[asíntotas]].]]
+''Hipérbola abierta de derecha a izquierda:'' [[Archivo:Hyperbola2.png|60px]]
+:<math>r^2 =a\sec 2\theta \,</math>
+''Hipérbola abierta de arriba a abajo:''
+:<math>r^2 =-a\sec 2\theta \,</math>
+''Hipérbola abierta de noreste a suroeste:'' [[Archivo:Giperbola-ravnoboch.png|70px]]
+:<math>r^2 =a\csc 2\theta \,</math>
+''Hipérbola abierta de noroeste a sureste:''
+:<math>r^2 =-a\csc 2\theta \,</math>
+== Ecuaciones paramétricas ==
+[[Archivo:Hyperbola (PSF).png|thumb|Imagen de sección cónica.]]
+''Hipérbola abierta de derecha a izquierda:''
+:<math>\begin{matrix}
+ x = a\sec t + h \\
+ y = b\tan t + k \\
+\end{matrix}
+\qquad \mathrm{or} \qquad\begin{matrix}
+ x = \pm a\cosh t + h \\
+ y = b\ \operatorname {senh}\ t + k \\
+\end{matrix}
+</math>
+''Hipérbola abierta de arriba a abajo:''
+:<math>\begin{matrix}
+ x = a\tan t + h \\
+ y = b\sec t + k \\
+\end{matrix}
+\qquad \mathrm{or} \qquad\begin{matrix}
+ x = a\ \operatorname {senh}\ t + h \\
+ y = \pm b\cosh t + k \\
+\end{matrix}
+</math>
+== Véase también ==
+* [[Circunferencia]]
+* [[parábola (matemática)|Parábola]]
+* [[Elipse]]
+* [[Sección cónica]]
+* [[Geometría analítica]]
+== Referencias ==
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+== Enlaces externos ==
+{{commonscat|Hyperbolas}}
+*[http://www.stefanelli.eng.br/webpage/es_hiperbola.html Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica hipérbola]
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+[[uk:Гіпербола (математика)]]
+[[vi:Hyperbol]]
+[[zh:双曲线]]