Diferencia entre revisiones de «Número compuesto»
Página blanqueada |
m Revertidos los cambios de 190.29.0.5 a la última edición de Dnu72 |
||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
Todo [[número natural]] no [[número primo|primo]], a [[Número primo#Primalidad del 1|excepción]] del '''1''', se denomina '''compuesto''', es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. |
|||
Los 20 primeros números compuestos son: [[cuatro|4]], [[seis|6]], [[ocho|8]], [[nueve|9]], [[diez|10]], [[doce|12]], [[catorce|14]], [[quince|15]], [[dieciséis|16]], [[dieciocho|18]], [[veinte|20]], [[veintiuno|21]], [[veintidós|22]], [[veinticuatro|24]], [[veinticinco|25]], [[veintiséis|26]], [[veintisiete|27]], [[veintiocho|28]], [[treinta|30]] y [[treinta y dos|32]]. |
|||
Una característica de los '''números compuestos''' es que pueden escribirse como producto de dos [[número entero|enteros]] positivos menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son [[número primo|números primos]]. Cada número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo proceso se conoce como [[factorización]]. |
|||
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos. |
|||
La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un [[divisor]] d comprendido entre 1 y n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es utilizar entonces el [[pequeño teorema de Fermat]], o mejor la [[Pequeño teorema de Fermat#Generalizaciones|generalización]] de este teorema debida al matemático suizo [[Leonhard Euler]] |
|||
Como los números [[número primo|primos]] y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán secuencias de números '''compuestos''' consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera. |
|||
Un teorema de [[Fermat]] afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces puede expresarse de forma única como suma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes al menos, entonces el número es compuesto. [[Euler]] halló un método de factorización a partir de este hecho. Por ejemplo, si 221 = 11<sup>2</sup> + 10<sup>2</sup> = 14<sup>2</sup> + 5<sup>2</sup>, entonces, 14<sup>2</sup> - 11<sup>2</sup> = 10<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup>. Tomando mcd(14+11, 10+5) = mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 5<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) = 17 nos da el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos. |
|||
== Véase también == |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número complejo]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número real]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número racional]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número entero]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número natural]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| [[Número primo]] |
|||
|- |
|||
| [[Números compuestos]] |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|- |
|||
| [[Entero negativo]] |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|- |
|||
| |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número fraccionario]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| [[Fracción propia]] |
|||
|- |
|||
| [[Fracción impropia]] |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|- |
|||
| |
|||
{| |
|||
| style="border-right:5px solid SeaGreen" | [[Número irracional]] |
|||
| |
|||
{| |
|||
| [[Número algebraico]] |
|||
|- |
|||
| [[Número trascendente]] |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|} |
|||
|- |
|||
| [[Número imaginario]] |
|||
|} |
|||
|} |
|||
{{ORDENAR:Numeros compuestos}} |
|||
[[Categoría:Teoría de números]] |
|||
[[Categoría:Aritmética elemental]] |
|||
[[ar:عدد مركب]] |
|||
[[az:Mürəkkəb ədəd]] |
|||
[[ca:Nombre compost]] |
|||
[[cs:Složené číslo]] |
|||
[[de:Zusammengesetzte Zahl]] |
|||
[[en:Composite number]] |
|||
[[eo:Komponita nombro]] |
|||
[[fa:اعداد مرکب]] |
|||
[[fi:Yhdistetty luku]] |
|||
[[fr:Nombre composé]] |
|||
[[gl:Número composto]] |
|||
[[he:מספר פריק]] |
|||
[[hu:Összetett számok]] |
|||
[[id:Bilangan komposit]] |
|||
[[it:Numero composto]] |
|||
[[ja:合成数]] |
|||
[[ko:합성수]] |
|||
[[ms:Nombor komposit]] |
|||
[[nl:Samengesteld getal]] |
|||
[[no:Sammensatt tall]] |
|||
[[pl:Liczby złożone]] |
|||
[[ro:Număr compus]] |
|||
[[ru:Составное число]] |
|||
[[simple:Composite number]] |
|||
[[sk:Zložené číslo]] |
|||
[[sl:Sestavljeno število]] |
|||
[[sv:Sammansatt tal]] |
|||
[[th:จำนวนประกอบ]] |
|||
[[tr:Bileşik sayı]] |
|||
[[ur:مرکب عدد]] |
|||
[[vi:Hợp số]] |
|||
[[yi:צוזאמענגעזעצטע צאל]] |
|||
[[zh:合数]] |
|||
Revisión del 14:37 22 sep 2009
Todo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo.
Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.
Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivos menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. Cada número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo proceso se conoce como factorización.
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos.
La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 y n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida al matemático suizo Leonhard Euler
Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera.
Un teorema de Fermat afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces puede expresarse de forma única como suma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes al menos, entonces el número es compuesto. Euler halló un método de factorización a partir de este hecho. Por ejemplo, si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entonces, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11, 10+5) = mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) = 17 nos da el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos.