Ecuación de Laplace

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.

Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

Definición

La ecuación de Laplace se define como:

$\Delta u=0$

donde $\Delta$ es el operador laplaciano, y u; son funciones reales o complejas.

La ecuación de Laplace se trata de un caso particular de la ecuación de Poisson:

$\Delta u=f$ cuando la función f es cero.

A las funciones soluciones de la ecuación de Laplace se les llama funciones armónicas.

Condiciones iniciales

El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina un problema planteado no correctamente, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

Condiciones de frontera

Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet consiste en hallar una función armónica dados sus valores en la frontera de un dominio acotado. Esto es:

hallar una función u con primera y segunda derivadas continuas en D y continua en la frontera de D

$\Delta u=0$ en D

$u=\varphi$ en la frontera de D

para cierta función $\varphi$ continua en la frontera de D.

Como consecuencia del principio fuerte del máximo de las funciones armónicas se tiene que la solución del problema de Dirichlet si existe es única.

Ecuación de Laplace tridimensional

En coordenadas cartesianas, en un espacio euclídeo de tres dimensiones, el problema consiste en encontrar todas las funciones de tres variables reales $u(x,y,z)\,\!$ que verifican la ecuación en derivadas parciales de segundo orden:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\ =\ 0$

Para simplificar la escritura, se introduce el operador diferencial $\Delta \,\!$ (operador laplaciano) tal que la ecuación nos queda:

$\Delta u\ =\ 0$

Ecuación de Laplace bidimensional

En coordenadas cartesianas, en un espacio euclídeo de dos dimensiones, el problema consiste en encontrar todas las funciones de dos variables reales $u(x,y)$ que verifican:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ =\ 0$

Problema de Dirichlet

Problema de Dirichlet en el círculo unidad

Por la fórmula integral de Poisson tenemos que la solución al problema en un círculo (expresando la solución en coordenadas polares) es:

$u(r,\theta )={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1+r^{2}-2r\cos(\theta -t)}u(1,t)\,dt\;$

Problema de Dirichlet en el semiplano superior

Se obtiene la conocida como fórmula integral de Schwartz:

$u(x,y)={y \over \pi }\int _{-\infty }^{\infty }{u(s,0) \over (x-s)^{2}+y^{2}}\,ds\;$

Véase también

• Ecuación de Poisson
• Función armónica