Relación de orden

Sea $A$ un conjunto dado no vacío y $R$ una relación binaria definida en $A$, entonces decimos que $R$ es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexividad: Todo elemento de $A$ está relacionado consigo mismo. Es decir, $\forall x\in A,\;xRx$.
2. Antisimetría: Si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, $\forall x,y\in A,\;xRy,\;yRx\;\Rightarrow \;x=y$
3. Transitividad: Si un elemento de $A$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, $\forall x,y,z\in A,\;xRy,yRz\Rightarrow xRz$

Una relación de orden $R$ sobre un conjunto $A$ puede denotarse con el par ordenado $(A,\leq )$.

Relación de orden total

Sea $A$ un conjunto dado, $\leq$ es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\forall x,y\in A,(x\leq y)\vee (y\leq x)$.

• Ejemplo $(\mathbb {N} ,\leq )$ es totalmente ordenado. En efecto, es:
  • Reflexivo: $\forall n\in \mathbb {N} ,$ entonces $n\leq n$ (porque por definición, $n=n\,$)
  • Antisimétrico: $\forall n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} ,$ si $\;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;$ y $\;\;n_{2}\leq n_{1},\;\;$ entonces $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{1}$ $\Rightarrow n_{1}=n_{2}$
  • Transitivo: $\forall n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} ,$ si $\;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;$ y $\;\;n_{2}\leq n_{3},\;\;$ entonces $n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}\Rightarrow n_{1}\leq n_{3}$

Relación de orden parcial

Sea $A$ un conjunto dado, $\leq$ es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de $A$ se relacionan entre sí, es decir,

$\exists x,y\in A,$ tal que $(x\leq y)\vee (y\leq x)$.

• Ejemplo. Sea el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el conjunto potencia de $X$, definido por:

${\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Entonces $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ es parcialmente ordenado, pues sean

$A=\{1\},B=\{1,2\},C=\{3\}\in {\mathcal {P}}(X),$

$A\subseteq B,$ pero $(A\nsubseteq C)\wedge (C\nsubseteq A).$

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.

• Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q₁ < q₂ entonces tenemos que q₃ := (q₁+q₂)/2 satisface que: q₁ < q₃ < q₂.
• Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un cojunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.

Véase también

• Teoría del orden

Esquema de temas relacionados

Conjunto bien ordenado

Orden total Conjunto parcialmente ordenado Conjunto preordenado Relación reflexiva Relación transitiva Relación antisimétrica Relación total Orden bien fundamentado