Vector unitario

En álgebra lineal, un vector unitario es un vector de módulo uno.

Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

Notación

Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre su nombre. Por ejemplo, î (se lee "i versor") representa un vector unitario.

La notación de concha el uso de una breve también es común, especialmente en desarrollos a mano. Así, algunos autores escribirían ĭ (se lee "i versor").

En sistemas informáticos, mientras los vectores suelen indicarse en negrita, los vectores unitarios, por su parte, suelen indicarse en itálica y con un acento circunflejo o breve como se describió antes.

Definición

Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición simbólica de vector unitario.

Sea el vector v ∈ ℝⁿ. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante ${\hat {v}}$ si y solamente si ||v|| = 1.

O en forma más compacta:

$\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv {\hat {v}}\Leftrightarrow \|\mathbf {v} \|=1$

Versor asociado a un vector

Con frecuencia es necesario contar con un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que un dado vector v. Es decir, se busca un vector con la misma dirección y sentido que un dado vector v, pero con (eventualmente) distinto módulo, y en particular, módulo unitario. A tal vector se lo llama versor asociado al vector v.

La operación vectorial que permite modificar el módulo de un vector sin alterar su dirección es el producto de escalar por vector. Buscamos entonces cual es el escalar k tal que, al multiplicarse por un vector v, da como resultado un vector de módulo unitario:

$\|k\mathbf {v} \|=1$

Por propiedad de módulo de un vector, podemos escribir:

$|k|\|\mathbf {v} \|=1$

Si aceptamos que v es un vector no nulo, podemos dividir ambos miembros de la ecuación por el módulo de v, es decir, por ||v||, para obtener:

$|k|={\frac {1}{\|\mathbf {v} \|}}$

De esta manera:

$k=+{\frac {1}{\|\mathbf {v} \|}};k=-{\frac {1}{\|\mathbf {v} \|}}$

El valor positivo corresponderá al factor que produce un vector unitario con el mismo sentido que el vector original v, mientras que el valor negativo producirá un vector unitario con sentido contrario a v.

En resumen, existen dos vectores asociados a un dado vector v no nulo:

${\hat {v}}=\pm {\frac {1}{\|\mathbf {v} \|}}\mathbf {v}$

El signo positivo corresponde a un versor con el mismo sentido que v, mientras que el signo negativo corresponde a un versor con sentido opuesto.

Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se lo llama normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

El método para transformar una base ortogonal (obtenida, por ejemplo mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt) en una base ortonormal (es decir, una base donde todos los vectores son vectores unitarios) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilitando la ecuación anterior.

Producto escalar con vectores unitarios

En el espacio euclídeo, el producto escalar de dos vectores unitarios es simplemente el coseno del ángulo entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:

${\hat {u}}\cdot {\hat {v}}=\|{\hat {u}}\|\|{\hat {v}}\|cos\theta$

Pero:

$\|{\hat {u}}\|=\|{\hat {v}}\|=1$

Por lo tanto:

${\hat {u}}\cdot {\hat {v}}=cos\theta$

donde θ es el ángulo entre ambos versores.

Proyección escalar

De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un versor es la proyección escalar del vector sobre la dirección determinada por el versor.

${\vec {F}}\cdot {\hat {n}}=\|{\vec {F}}\|\|{\hat {n}}\|cos\theta$

Como el módulo del versor ${\hat {n}}$ es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:

${\vec {F}}\cdot {\hat {n}}=\|{\vec {F}}\|cos\theta$

de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado.

Este resultado es muy frecuente en física, donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes ortogonales a una superficie.

Vectores coordenados

En un sistema de coordenadas (abscisa x y ordenada y para el caso de ℝ²), el vector unitario correspondiente al eje x suele denotarse ${\hat {\imath }}$ (se lee "i versor" o "versor del eje x" y a menudo también "i tongo"), mientras que el vector unitario correspondiente al eje y se denota ${\hat {\jmath }}$. Para el caso de ℝ³, el vector unitario correspondiente al eje z se denota ${\hat {k}}$.

Estos versores se usan generalmente para escribir vectores por medio de su expresión analítica. Por ejemplo, el vector v = (1,-2,3) en su expresión analítica es:

$\mathbf {v} ={\hat {\imath }}-2{\hat {\jmath }}+3{\hat {k}}$

Véase también

• Vector
• Base ortonormal