Espacio euclídeo

El espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. El concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a más dimensiones. Un espacio euclídeo es un espacio vectorial completo dotado de un producto interno (lo cual lo convierte además en un espacio normado, un espacio métrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo).

El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios "curvos" de las geometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional" (denotado $\scriptstyle \mathbb {E} ^{n},E^{n}$, o incluso $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$).

Introducción

Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario. Para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional se representa por el símbolo $\mathbb {R} ^{n}$ y es el conjunto de todas las tuplas ordenadas

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

en donde cada $x_{i}$ es un número real, junto con la función distancia entre dos puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ..., y_n) definida por la fórmula:

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

Esta función distancia es una generalización del teorema de Pitágoras y se denomina Distancia euclidiana.

Estructuras sobre el espacio euclídeo

Los espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matemáticos relacionados con la geometría analítica, la topología, el álgebra y el cálculo. Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido, por razones didácticas, como espacio vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. El espacio euclídeo es además de un espacio vectorial un caso de:

• Un espacio de Hilbert de dimensión finita, con el producto escalar ordinario.
• Un espacio de Banach de dimensión finita, con norma inducida por el producto escalar interior.
• Un espacio métrico completo, con distancia inducida por la norma anterior.
• Un espacio topológico, inducido por la métrica euclídea.
• Un grupo de Lie, con la operación de adición.
• Un álgebra de Lie con el producto vectorial.

El espacio euclídeo como espacio métrico

Por definición, E ⁿ es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a E ⁿ es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).

El espacio euclídeo como espacio topológico

Se puede decir mucho sobre la topología de E ⁿ. Un resultado importante, la invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de E ⁿ que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E ⁿ es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E ^m no es homeomorfo a E ⁿ si m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.

El espacio euclídeo como espacio vectorial

El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional real, de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) está dado por:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$

Véase también

• Geometría euclidiana
• Geometría analítica
• Medida de Lebesgue

Referencias

• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6. 
• Munkres, James (1999). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.