Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernouilli es una Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y^1-n = v,​ que se caracteriza por adoptar la forma:

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$

donde $\!P(x)$ y $\!Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo abierto $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ y α es un número real cualquiera​

Método de resolución

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por y^α se obtiene:

(1)${\frac {y'}{y^{\alpha }}}+{\frac {P(x)}{y^{(\alpha -1)}}}=Q(x)$

Definiendo:

$Z(x):={\frac {1}{y^{(\alpha -1)}}}$

o,equivalentemente, Z = y^1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

$Z'(x)=-{\frac {\alpha -1}{y^{\alpha }}}y'\qquad \Rightarrow {\frac {y'(x)}{y^{\alpha }}}=-{\frac {1}{\alpha -1}}Z'(x)$

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

(2)$\!Z'(x)+(1-\alpha )\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha )\!Q(x)$

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

$Z(x)={\frac {\left(1-\alpha \right)\int \!Q\left(x\right){e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}{dx}+C}{e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}}$

Donde $C\in \mathbb {R}$ es una constante arbitraria. Pero como Z = y^1-α se tiene que:

${y^{(\alpha -1)}}={\frac {e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}{\left(1-\alpha \right)\int \!Q\left(x\right){e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}{dx}+C}}\qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt[{\alpha -1}]{\frac {e^{-(\alpha -1)\int \!P\left(x\right){dx}}}{\left(1-\alpha \right)\int \!Q\left(x\right){e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}{dx}+C}}}$

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

(3)$y(x)={\frac {e^{-\int \!P\left(x\right){dx}}}{\sqrt[{\alpha -1}]{\left(1-\alpha \right)\int \!Q\left(x\right){e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}{dx}+C}}}$

Con $C\in \mathbb {R}$. Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

(4)$\!y(x)=e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int {\!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)$

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

(5)$\ln \ \!y(x)=\int [Q(x)-P(x)]dx+C$

Ejemplo

Para resolver la ecuación:

(*)$\qquad xy'+y=x^{4}y^{3}$

Se hace el cambio de variable $z=y^{-2}\;$, que introducido en (*) da simplemente:

(**)$y^{2}={\frac {1}{z}}\Rightarrow 2yy'=-{\frac {1}{z^{2}}}z'$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: ${\frac {2y}{x}};$ se llega a:

$\qquad 2yy'+{\frac {2}{x}}y^{2}=2x^{3}y^{4}$

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

$-{\frac {z'}{z^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {1}{z}}={\frac {2x^{3}}{z^{2}}}\quad \Rightarrow \quad z'-{\frac {2z}{x}}=-2x^{3}$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

$e^{\int P(x)dx}=e^{\int -{\frac {2}{x}}dx}=e^{-2ln(x)}={\frac {1}{x^{2}}}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

$\left({\frac {z}{x^{2}}}\right)'=-2x^{3}{\frac {1}{x^{2}}}=-2x\qquad {\frac {z}{x^{2}}}=\int {-2xdx}=-2\int {xdx}=-2{\frac {x^{2}}{2}}+C_{1}=-x^{2}+C_{1}$

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

${\frac {z}{x^{2}}}=-x^{2}+C_{1}\quad \Rightarrow \quad z=C_{1}x^{2}-x^{4}$

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue $z=y^{-2}\;$:

${\frac {1}{y(x)^{2}}}=C_{1}x^{2}-x^{4}\quad \Rightarrow \quad y(x)={\frac {\pm 1}{\sqrt {C_{1}x^{2}-x^{4}}}}$

Bibliografía

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

Véase también

• Ecuación diferencial de primer orden
• Ecuación diferencial ordinaria
• Ecuación diferencial
• Bernoulli