Ecuaciones para un cuerpo en caída libre

Bajo condiciones terrestres normales, cuando los objetos se mueven debido a una fuerza gravitacional constante, un conjunto de ecuaciones dinámicas describen las trayectorias resultantes. Por ejemplo, la ley de gravitación universal simplifica a F = mg, donde m es la masa del cuerpo. Esta suposición es válida para objetos de experiencia diaria que caen a tierra de distancias relativamente cortas, pero para distancias muy largas (como la trayectoria de una nave espacial) no son muy válidas. En este artículo se desprecia la resistencia del aire.

Historia

Galileo fue el primero en demostrar y consecuentemente formular estas ecuaciones. Utilizó un plano inclinado para estudiar unas bolas que rodaban en el. La rampa disminuía la aceleración lo suficiente para medir el tiempo que se demoraba la bola en llegar a una distancia determinada. Él midió el tiempo transcurrido con un reloj de agua, usando un "balance extremadamente adecuado" para medir la cantidad de agua.

Las ecuaciones desprecian la resistencia del aire, la cual tiene un efecto dramático en objetos que caen de una distancia considerablemente grande, haciéndoles alcanzar rápidamente una velocidad límite. Por ejemplo, una persona que salte de cabeza de un avión nunca superará los 200 km/h, debido a la resistencia del aire. El efecto de la resistencia del aire depende enormemente del tamaño y geometría del objeto en caída. Por ejemplo, las ecuaciones no son válidas para una pluma, que tiene una masa baja pero una gran resistencia al aire. (En la ausencia de una atmósfera todos los objetos caen a la misma velocidad, como el astronauta David Scott demostró al dejar caer un martillo y una pluma en la superficie de la Luna).

Las ecuaciones también ignoran la rotación de la Tierra; por esta razón, el efecto Coriolis no es tenido en cuenta. No obstante, normalmente son lo suficientemente exactas para objetos compactos y densos que caen de alturas que no exceden las estructuras más altas hechas por el hombre.

Visión general

Cerca de la superficie de la tierra, use g = 9.8 m/s² (metros por segundo cuadrado) aproximadamente. Para otros planetas multiplique g por el respectivo factor de escala. Es importante usar las unidades correctas para g, d, t y v. Considerando el SI, g se medirá en metros por segundo cuadrado y d se medirá en metros, t en segundos y v en metros por segundo.

En todos los casos se asume que el cuerpo inicia en un estado de reposo (eso significa que su velocidad inicial es Cero)además, la resistencia del aire es despreciada. Generalmente, en la atmósfera de la tierra, esto es válido para caídas que no duren más de 5 segundos (tiempo en que la velocidad del objeto será un poco menor que el valor del vacío de 49m/s, debido a la resistencia del aire). Para un cuerpo que se encuentre en una atmósfera más delgada como la que se presenta cerca del nivel del mar, la velocidad límite se alcanza exponencialmente entre 8 y 15 segundos, después de que se mantenga una velocidad constante de 100 m/s en objetos compactos con densidades parecidas a las del agua y a la de los metales comunes.

En un cuerpo con ausencia de aire como en la Luna o con muy bajos niveles de aire como en Marte, y con los cambios apropiados en el valor de la gravedad, estas ecuaciones darán resultados adecuados si se trata de tiempos relativamente cortos y bajas velocidades.

A excepción de la última fórmula, estas fórmulas también asumen que g no varía significativamente con la altura durante la caída (Por lo cual, se asume una aceleración constante). Para situaciones donde la distancia del centro del planeta varía significativamente durante la caída que produzcan cambios significativos en el valor de g, la última ecuación debería usarse para una mayor exactitud.

Distancia d recorrida por un objeto en caída libre con tiempo t:	$\ d={\frac {1}{2}}gt^{2}$
Tiempo t transcurrido por un objeto en una distancia de caída d:	$\ t=\ {\sqrt {\frac {2d}{g}}}$
Velocidad instantánea v_i de un cuerpo en caída libre después de un tiempo elapsado t:	$\ v_{i}=gt$
Velocidad instantánea v_i de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia d:	$\ v_{i}={\sqrt {2gd}}\$
Velocidad promedio v_a de un cuerpo que ha caído en un tiempo t:	$\ v_{a}={\frac {1}{2}}gt$
Velocidad promedio v_a de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia d :	$\ v_{a}={\frac {\sqrt {2gd}}{2}}\$

Ejemplo: La primera ecuación muestra que, después de un segundo, habrá caído una distancia de 1/2 × 9.8 × 1² = 4.9 metros. Después de dos segundos habrá caído 1/2 × 9.8 × 2² = 19.6 metros, y así sucesivamente.

Para cuerpos astronómicos diferentes a la tierra, y para pequeñas distancias de caída que no se realicen en la tierra, en las ecuaciones ya mencionadas se debe reemplazar g por G(M+m)/r², donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del cuerpo astronómico, m es la masa del cuerpo en caída libre, y r es la distancia entre el cuerpo y el centro de masas común.

Eliminado la supuesta simplificación de la aceleración gravitacional uniforme nos proveerá resultados mucho más exactos. Podemos hallarla de la fórmula radial para trayectorias elípticas radiales.

El tiempo t transcurrido de un objeto que cae de una altura r a una altura x, medida desde el centro de los dos cuerpos está dada por:

t={\frac {\arccos {\sqrt {\frac {x}{r}}}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}

Donde $\mu =g(m_{1}+m_{2})$ es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los dos cuerpos. Esta ecuación debería ser usada cuando halla una diferencia significativa de la aceleración gravitacional durante la caída.

Potencial gravitacional

Para cualquier distribución de masa existe un campo escalar, el potencial gravitacional (un potencial escalar), el cual es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa de un punto de masa, en función de la posición es:

-G\int {1 \over r}dm

donde la integral tiene en cuenta toda la masa. Menos su gradiente es el mismo campo gravitacional, y menús su operador laplaciano es la divergencia del campo de gravedad, el cual es igual en cualquier punto a -4πG veces la densidad local.

Aceleración relativa a la rotación de la tierra

La aceleración medida en la superficie de rotación de la tierra no es la misma que la aceleración que es medida para un cuerpo en caída libre por la fuerza centrífuga. En otras palabras, la aceleración aparente en el marco giratorio de referencia es el vector de la gravedad total menos un pequeño vector hacia el eje norte-sur de la tierra, correspondiente al estacionario en ese marco de referencia.

Véase también

Enlaces externos

(en inglés) Calculadora de ecuaciones para un cuerpo en caída libre