Ecuaciones de Friedmann

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Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmología física que describen la expansión métrica del espacio en modelos homogéneos e isótropos del Universo dentro del contexto de la Teoría General de la Relatividad. Fueron halladas por Alexander Friedman en 1922[1] a partir de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido con una densidad de energía (\rho) y una presión (p) dadas. Las ecuaciones son:

H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda}{3} - K\frac{c^2}{a^2}
3\frac{\ddot{a}}{a} =  \Lambda - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})

donde \Lambda es la constante cosmológica, posiblemente causada por la energía del vacío, G es la constante de gravitación, c es la velocidad de la luz, a es el factor de escala del Universo y K es la curvatura gaussiana cuando a = 1 (p.ej. hoy). Si la forma del universo es hiperesférica y R es el radio de curvatura (R_0 en el momento actual), entonces a = R/R_0. Generalmente, K \over a^2 es la curvatura gaussiana. Si K es positiva, entonces el Universo es hiperesférico. Si K es cero, el Universo es plano, y si K es negativo, el Universo es hiperbólico. Nótese que \rho y p son función de a. El parámetro de Hubble, H, es la velocidad de expansión del universo.

Estas ecuaciones a veces se simplifican redefiniendo la densidad de energía y la presión:

\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{8 \pi G} p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}

para obtener:

H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - K\frac{c^2}{a^2}
3\frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})

El parámetro de Hubble puede cambiar en el tiempo si otros miembros de la ecuación son dependientes del tiempo (en particular la densidad de energía, la energía del vacío y la curvatura). Evaluando el parámetro de Hubble en el momento actual produce que la constante de Hubble que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble. Aplicado a un fluido con una ecuación de estado dada, las ecuaciones de Friedmann dan como resultado la evolución en el tiempo y la geometría del Universo como función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración y se reservan el término ecuación de Friedmann sólo para la primera ecuación.

El parámetro de densidad[editar]

El parámetro de densidad, \Omega, se define como la relación de la densidad actual (u observada) \rho respecto a la densidad crítica \rho_c del Universo de Friedmann. Una expresión para la densidad crítica se encuentra asimiendo que \Lambda es cero (como es para todos los Universos de Friedmann básicos) y estableciendo la curvatura K igual a cero. Cuando se sustituyen estos parámetros en la primera ecuación de Friedmann se encuentra que:

\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}

y se obtiene que la expresión para el parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) es:

\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho

Este término originalmente fue utilizado como una manera de determinar la geometría del campo en el que \rho_c es la densidad crítica para la que la geometría es plana. Asumiendo una densidad de energía del vacío nula, si \Omega es mayor que uno, la geometría es cerrada y el Universo eventualmente parará su expansión y entonces se colapsará. Si \Omega es menor que uno, será abierto y el Universo se expandirá para siempre. Sin embargo, también se pueden sintetizar los términos de curvatura y de la energía del vacío en una expresión más general para \Omega en el caso de que este parámetro de densidad de energía sea exactemente igual a la unidad. Entonces es una cuestión de medir los diferentes componentes, normalmente designados por subíndices. De acuerdo con el modelo Lambda-CDM, hay importantes componentes de \Omega debido a bariones, materia oscura fría y energía oscura. La geometría del espacio-tiempo fue medida por el satélite WMAP estando cerca de ser una geometría plana, es decir, el parámetro de curvatura K es aproximadamente cero.

La primera Ecuación de Friedmann a menudo se escribe formalmente con los parámeros de densidad.

\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\Lambda} - K c^2 a^{-2}

Donde, \Omega_R es la densidad de radiación actual, \Omega_M es la densidad de materia (oscura más la bariónica) actual y \Omega_\Lambda es la constante cosmológica o la densidad de vacío actual.

Ecuación de Friedmann reescalada[editar]

Estableciendo a=\tilde{a}a_0, \rho_c=3H_0^2/8\pi G, \rho=\rho_c \Omega, t=\tilde{t}/H_0, \Omega_c = -K/H_0^2 a_0^2 donde a_0 y H_0 son por separado el factor de escala y el parámetro de Hubble actuales. Entonces podemos hallar que:

\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{\rm eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c

donde U_{eff}(\tilde{a}) = \Omega\tilde{a}^2/2. Para cualquier forma del potencial efectivo U_{eff}(\tilde{a}), hay una ecuación de estado p = p(\rho) que la producirá.

Referencias[editar]

  1. Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducción al inglés en ¡: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)