Distribución zeta

Distribución zeta
Dibujo de la función de probabilidad de la distribución Zeta en una escala log-log. (Nótese que la función solo está definda para valores de k enteros.) Función de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$s\in (1,\infty )$
Dominio	$k\in \{1,2,\ldots \}$
Función de probabilidad (fp)	${\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}$
Función de distribución (cdf)	${\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}$
Media	${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {para}}~s>2$
Moda	$1\,$
Varianza	${\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {para}}~s>3$
Entropía	$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!$
Función generadora de momentos (mgf)	${\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}$
Función característica	${\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}$

En teoría de la probabilidad, la distribución zeta es una distribución de probabilidad definida sobre los números naturales con función de probabilidad

$P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}},$

donde $s>1\,$ es un parámetro que mide la velocidad de decaimiento. Recibe su nombre de la función zeta de Riemann,

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$

Se trata del equivalente discreto de la distribución Pareto. La distribución zeta fue utilizada por el economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923) para estudiar la distribución de los ingresos familiares de un país determinado.

• Datos: Q196825