Cuadrado latino
Un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos, en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.
Las siguientes matrices son cuadrados latinos:
Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos. Estos tienen su aplicación en el diseño de experimentos.
El nombre de Cuadrado latino se origina con Leonhard Euler quién utilizó caracteres latinos como símbolos.
Un cuadrado latino se dice que está reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.
Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.
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[editar] Representación por un Arreglo Ortogonal
Si cada entrada de un cuadrado latino de n × n se escribe como una tripleta (f, c, s) donde f es la fila, c la columna y s el símbolo (para nuestro caso un número), obtenemos n2 tripletas llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino de nuestros ejemplos, el arreglo ortogonal será así: { (1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,2),(2,2,3),(2,3,1),(3,1,3),(3,2,1),(3,3,2) },
donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1. La representación de un cuadrado latino puede ser escrita en términos del arreglo ortogonal quedando así:
- Existen n2 tripletas de la forma (f, c, s), donde 1 ≤ f, c, s ≤ n.
- Todos los pares (f, c) son diferentes, todos los pares (f, s) son diferentes, y todos los pares (c, s) son diferentes.
La representación por arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y símbolos juegan un papel muy similar, esto estará un poco más claro conforme nos adentremos en el tema.
[editar] Clases equivalente de Cuadrados latinos
Muchas operaciones sobre un Cuadrado latino produce otro Cuadrado latino (por ejemplo, alternar filas).
Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los símbolos de un Cuadrado latino obtenemos un nuevo Cuadrado latino que decimos que es isotópico del primero. El isotopismo es una relación de equivalencia, basándose en esto se dice que todos los Cuadrados latinos están divididos en subgrupos, llamados clases isotópicas, según esto dos Cuadrados de la misma clase se dice que son isotópicos, y dos de clases diferentes son no isotópicos.
Otro tipo de operación es simple de explicar usando la representación de estos por arreglos ortogonales. Si reorganizamos consciente y sistemáticamente los tres elementos de cada tripleta (f, c, s) por (c, f, s) lo cual corresponde a una transposición del cuadrado (reflejado en la diagonal principal), o podemos reemplazar cada tripleta (f, c, s) por (c, s, f), lo que es una operación más complicada. Todas juntas nos dan 6 posibilidades, incluida no hacer nada, dándonos 6 Cuadrados Latinos llamados conjugados del cuadrado original.
Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones equivalentes: Dos Cuadrados Latinos son paratópicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relación de equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada Clase Principal, especies o clase paratópica. Cada clase contiene 6 clases isotópicas.
[editar] El número de Cuadrados Latinos
No se conoce una fórmula para el cálculo fácil del número de Cuadrados Latinos de n × n son para n=1,2,...,n. Los límites superiores e inferiores más exactos conocidos para n más grande están demasiado separados. Aquí disponemos de todos los valores exactos conocidos. Es posible notar que los números crecen exageradamente rápido.
Para cada n, el número de Cuadrados Latinos disponibles (secuencia A002860 en OEIS ) es n! (n-1)! veces el número de Cuadrados Latinos reducidos (secuencia A000315 en OEIS).
| n | Cuadrados Latinos reducidos de tamaño n | Todos los Cuadrados Latinos de tamaño n |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 12 |
| 4 | 4 | 576 |
| 5 | 56 | 161280 |
| 6 | 9408 | 812851200 |
| 7 | 16942080 | 61479419904000 |
| 8 | 535281401856 | 108776032459082956800 |
| 9 | 377597570964258816 | 5524751496156892842531225600 |
| 10 | 7580721483160132811489280 | 9982437658213039871725064756920320000 |
| 11 | 5363937773277371298119673540771840 | 776966836171770144107444346734230682311065600000 |
Para cada n, cada clase isotópica (secuencia A040082 en OEIS ) contiene arriba de (n!)3 Cuadrados Latinos (el número exacto varia), y cada clase principal (secuencia A003090 en OEIS ) contiene alguna de las 1, 2, 3 o 6 clases isotópicas.
| n | clases principales | clases isotópicas |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 1 |
| 4 | 2 | 2 |
| 5 | 2 | 2 |
| 6 | 12 | 22 |
| 7 | 147 | 564 |
| 8 | 283657 | 1676267 |
| 9 | 19270853541 | 115618721533 |
| 10 | 34817397894749939 | 208904371354363006 |
[editar] Aplicaciones
El estadístico inglés Ronald Fisher se valió del uso de los cuadrados latinos para mejorar significativamente los métodos agrícolas, cuando se hallaba investigando la eficacia de los fertilizantes en el rendimiento de las cosechas. Buscó la manera de plantar cosechas en similares condiciones de suelo de modo que la calidad de la tierra no fuese un factor indeseable que influyese en el rendimiento de la cosecha. Si bien la única manera de asegurarse de tener condiciones idénticas de tierra era utilizar siempre el mismo suelo, en la práctica esto es casi imposible pues se debería desenterrar y volver a plantar las cosechas varias veces.[1]
Por otra parte, aunque sí se pudiera hacer esto último, las condiciones meteorológicas serían otro factor indeseable. Para evitar esto, por ejemplo en un caso en que se tuviese un campo cuadrado dividido en 16 parcelas, se puede concebir un cuadrado latino en que la descripción del campo sea tal que la calidad del suelo varíe «vertical» y «horizontalmente». Entonces se aplican al azar los 4 fertilizantes («a», «b», «c», y «d») con la sola condición de que hay un único tipo de fertilizante en cada fila y en cada columna. De esta manera se busca eliminar la variación de la calidad de tierra. Si hubiese otro factor que pudiese influir en el rendimiento, por ejemplo, el momento del día (A, B, C, D) en que se aplica el tratamiento, entonces puede utilizarse un cuadrado latino ortogonal al anterior donde se identifiquen dichos momentos del día. De esta manera cada pareja momento-fertilizante se aplicará en una única parcela.[1]
Así un plan podría ser:[1]
| a, A | b, B | c, C | d, D |
|---|---|---|---|
| b, C | a, D | d, A | c, B |
| c, D | d, C | a, B | b, A |
| d, B | c, A | b, D | a, C |
[editar] Cuadrados Latinos y rompecabezas matemáticos
El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de Cuadrados Latinos; toda solución de un Sudoku es un Cuadrado Latino. Un Sudoku impone una restricción adicional a los subgrupos de 3×3, estos sólo deben contener los dígitos del 1 al 9 (en la versión estándar).
El rompecabezas conocido como Diamante 16 (Diamond 16 Puzzle) ilustra un concepto generalizado de la ortogonalidad de los Cuadrados Latinos: El Cuadrado Ortogonal ([1], 1976) o "Matrices ortogonales"-- ortogonal en el sentido combinatorio y no en un sentido algebraico-lineal (A. E. Brouwer, 1991).
Para una comparación con la Geometría Finita, ver Geometría del Cuadrado Latino (Inglés).
[editar] Véase también
[editar] Referencias
- ↑ a b c Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
[editar] Enlaces externos
- Bogomolny, Alexander. «Latin Squares (An Interactive Gizmo)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
- Bogomolny, Alexander. «Infinite Latin Square: an Interactive Gizmo» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
- Magic Square in Latin Square (inglés)
