Coplanaridad

En geometría, un conjunto de puntos en el espacio es coplanario (el anglicismo coplanar es incorrecto) si todos los puntos se encuentran en el mismo plano. Tres puntos distintos siempre son coplanarios, pero un cuarto punto añadido en el espacio puede no pertenecer al mismo plano, siendo entonces no coplanario respecto de los anteriores.

Se puede demostrar si varios puntos son coplanarios determinando que el producto escalar de un vector normal al plano y otro vector desde cualquier punto en el plano hasta el punto que se está probando es 0. Es decir, si se desea determinar si un conjunto de puntos son coplanarios, primero hay que construir un vector para cada punto dirigido a uno de los otros puntos (mediante la fórmula de distancia, por ejemplo). En segundo lugar, construir un vector que sea perpendicular (normal) al plano de prueba (por ejemplo, calculando el producto cruzado de dos de los vectores del primer paso). Por último, calcular el producto escalar de este vector con cada uno de los vectores que creó en el primer paso. Si el resultado de cada producto escalar es 0, entonces todos los puntos son coplanarios.

Los determinantes de Cayley-Menger proporcionan una solución para el problema de determinar si un conjunto de puntos es coplanario, conociendo sólo las distancias entre ellos.

Propiedades

Si tres vectores $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ y $\mathbf {c}$ son coplanarios, y $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$, entonces

$(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}} )\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c} ,$

donde $\mathbf {\hat {a}}$ denota el vector unitario en la dirección de $\mathbf {a}$.

O bien, el vector proyección de $\mathbf {c}$ en $\mathbf {a}$ y $\mathbf {c}$ en $\mathbf {b}$ se añade para dar el original $\mathbf {c}$.

Fórmula del plano

Otra técnica consiste en calcular la fórmula de los planos definidos por cada subconjunto de tres puntos. En primer lugar, el vector normal para cada plano se calcula mediante alguna técnica de ortogonalización. Si los planos son paralelos, el producto escalar de los vectores normales será 1 o -1. Más específicamente, se puede calcular el ángulo entre los vectores normales, denominado ángulo diedro, que representa el ángulo más pequeño posible entre los dos planos. La fórmula de un plano es:

$ax+by+cz+d=0$, donde $(a,b,c)$ es el vector normal del plano.

El valor $d$ puede calcularse conectándolo a uno de los puntos y resolviendo a continuación. Si $d$ es el mismo para todos los subconjuntos de tres puntos, los planos son iguales y los puntos son coplanarios.

Una ventaja de esta técnica es que puede funcionar en un espacio hiperdimensional. Por ejemplo, si se desea calcular el ángulo diedro entre dos hiperplanos de m dimensiones definidos por m puntos en n espacios dimensionales. Si $n-m>1$, entonces hay un número infinito de vectores normales para cada hiperplano, por lo que el ángulo entre dos de ellos no es necesariamente el ángulo diedro. Sin embargo, si utiliza el proceso de Gram-Schmidt utilizando el mismo vector inicial en ambos casos, entonces el ángulo entre los dos vectores normales será mínimo y por lo tanto será el ángulo diedro entre los hiperplanos.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Coplanaridad». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q543533