Determinantes de Cayley-Menger

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La figura cuyos vértices son n puntos de coordenadas (x^1_1, \cdots, x^1_n), \cdots, (x^n_1, \cdots, x^n_n) se llama (n-1)-símplex. El 2-símplex es el triángulo y el 3-símplex es el tetraedro. Hay una fórmula que da el volumen del n-símplex en términos de las longitudes de sus lados. La parte principal de dicha fórmula es el determinante de Cayley-Menger, así llamado por Arthur Cayley y Karl Menger. Si denotamos por d(AB) la distancia entre los vértices A y B, etc.., entonces los determinantes de Cayley-Menger para 2, 3 y 4 dimensiones son, respectivamente,

 \det \begin{bmatrix} 
       0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\
 d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & 1 \\
 d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & 1 \\
       1 &       1 &       1 & 0
\end{bmatrix},
 \det \begin{bmatrix} 
       0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & 1 \\
 d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & d(BD)^2 & 1 \\
 d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & d(CD)^2 & 1 \\
 d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 &       0 & 1 \\
       1 &       1 &       1 & 1       & 0
\end{bmatrix},
 \det \begin{bmatrix} 
       0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & d(AE)^2 & 1 \\
 d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & d(BD)^2 & d(BE)^2 & 1 \\
 d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & d(CD)^2 & d(CE)^2 & 1 \\
 d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 &       0 & d(DE)^2 & 1 \\
 d(AE)^2 & d(BE)^2 & d(CE)^2 & d(DE)^2 &       0 & 1 \\
       1 &       1 &       1 & 1       &       1 & 0
\end{bmatrix}.

La forma de los determinantes en más dimensiones sigue este patrón. Si denotamos con CM al determinante de Cayley-Menger, entonces el el n-volumen del n-símplex es


\sqrt{{(-1)^{n+1} \over 2^n (n!)^2} CM}.

La fórmula para el caso bidimensional fue descubierta por Herón y para el caso tridimensional por Tartaglia. Que una fórmula para el caso n-dimensional ha de existir se deduce del hecho de que en n dimensiones el n-símplex queda determinado por las longitudes de sus n (n-1)/2 lados, y por tanto también su n-volumen queda determinado.

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