Coordenadas ortogonales

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Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

Definición[editar]

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana \mathcal{M}, un conjunto abierto O del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto m\in O\subset\mathcal{M}, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

\phi:O\subset\mathcal{M} \to \R^d \qquad p\in O \and \phi(p) = (x^1,x^2,...,x^d)\in \R^d

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

\phi(C_i(t))= (x_{(0)}^1,...,x^i(t),...,x^n_{(0)}) \qquad \mathbf{v}_i = C_i'(t) = \frac{\part}{\part x^i}

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:

g(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) = 0\ (i\ne j), \qquad g(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i) = h_i^2(x^1,x^2,...,x^d)

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Propiedades[editar]

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 
h_1^2 & 0 & 0 \\
0 & h_2^2 & 0 \\
0 & 0 & h_3^2 \end{bmatrix}

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales[editar]

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilemente en términos de estas componentes del tensor métrico.

\mbox{grad}\ \Phi = \nabla\Phi =
\frac{1}{h_1}\frac{\part \Phi}{\part x^1} \hat\mathbf{e}_1+
\frac{1}{h_2}\frac{\part \Phi}{\part x^2} \hat\mathbf{e}_2+
\frac{1}{h_3}\frac{\part \Phi}{\part x^3} \hat\mathbf{e}_3

\mbox{div}\ \mathbf{A} = \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\part}{\part x^1} (h_2 h_3 A_1)+
\frac{\part}{\part x^2} (h_3 h_1 A_2)+
\frac{\part}{\part x^3} (h_1 h_2 A_3) \right]

  • El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

\mbox{rot}\ \mathbf{A} = \nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
h_1 \hat\mathbf{e}_1 & h_2 \hat\mathbf{e}_2 & h_3 \hat\mathbf{e}_3\\
\part_{x^1} & \part_{x^2} & \part_{x^3}\\
h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}

  • El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

\Delta\Phi = (\nabla\cdot\nabla)\Phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\part}{\part x^1} \left(\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\part \Phi}{\part x^1}\right)+
\frac{\part}{\part x^2} \left(\frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\part \Phi}{\part x^2}\right)+
\frac{\part}{\part x^3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\part \Phi}{\part x^3}\right) \right]

Ejemplos en el espacio euclídeo[editar]

En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

Ejemplos en variedades diferenciales[editar]

La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.

En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.[cita requerida]