Condición de frontera de Neumann

En matemáticas, la condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann.^[1] Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

Ejemplos

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

{\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}\\{\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}\end{cases}}

donde $\alpha _{1}$ y $\alpha _{2}$ son números dados.

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ tal como:

\nabla ^{2}y=0

donde $\nabla ^{2}$ es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .

Aquí $\mathbf {n}$ es la normal a la frontera $\partial \Omega$ y $f$ es una función escalar.

La derivada normal ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}$ se define como:

{\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)

donde $\nabla$ es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.

↑ Cheng, A. y D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.