Condición de frontera de Neumann

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En matemáticas, la condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann.[1] Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

\begin{cases}\frac{dy}{dx}(0) = \alpha_1 \\
\frac{dy}{dx}(1) = \alpha_2 \end{cases}

donde \alpha_1 y \alpha_2 son números dados.

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio \Omega \subset \mathbb{R}^n tal como:

\nabla^2 y = 0

donde \nabla^2 es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

\frac{\partial y}{\partial \mathbf{n}}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega.

Aquí \mathbf{n} es la normal a la frontera \partial\Omega y f es una función escalar.

La derivada normal utilizando la regla de la mano izquierda se define como:

\frac{\partial y}{\partial \mathbf{n}}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf{n}(x)

donde \nabla es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Cheng, A. y D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.