Base dual

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En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomórfico a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e1, …, en} de V, hay asociada una base dual {e1,...,en} de V* con la relación

{{\mathbf{e}}^{*}}^{i}\cdot {{\mathbf{e}}_{j}}=\left\{ \begin{matrix}
   1\text{,} & \text{si }i=j  \\
   0\text{,} & \text{si }i\ne j  \\
\end{matrix} \right.

Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.

También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue

{{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot {{\mathbf{e}}_{j}}=\delta _{j}^{i}

Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue

{{\mathbf{e}}^{*i}}\left( {{\mathbf{e}}_{j}} \right)=\delta _{j}^{i}

Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superídices como sigue:

{{e}^{*i}}\left( {{e}_{j}} \right)=\delta _{j}^{i}

Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:

e_1^*=\frac{\left[e_2;e_3\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_2^*=\frac{\left[e_3;e_1\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_3^*=\frac{\left[e_1;e_2\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}

Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.

Ejemplo[editar]

Encontrar la base dual para un espacio en R3 cuyas bases están dadas por:

\begin{matrix}
   {{\mathbf{e}}_{1}}=\left[ \begin{matrix}
   5  \\
   -2  \\
   6  \\
\end{matrix} \right] & {{\mathbf{e}}_{2}}=\left[ \begin{matrix}
   -3  \\
   -1  \\
   -4  \\
\end{matrix} \right] & {{\mathbf{e}}_{3}}=\left[ \begin{matrix}
   9  \\
   -5  \\
   7  \\
\end{matrix} \right]  \\
\end{matrix}

Calculamos la base dual para su espacio dual

{{\mathbf{e}}^{*1}}=\frac{\left| \left[ \begin{matrix}
   {{x}_{1}} & -3 & 9  \\
   {{x}_{2}} & -1 & -5  \\
   {{x}_{3}} & -4 & 7  \\
\end{matrix} \right] \right|}{\left| \left[ \begin{matrix}
   5 & -3 & 9  \\
   -2 & -1 & -5  \\
   6 & -4 & 7  \\
\end{matrix} \right] \right|}=\frac{-27}{39}{{x}_{1}}+\frac{-15}{39}{{x}_{2}}+\frac{24}{39}{{x}_{3}}=\left( \frac{-27}{39}\text{, }\frac{-15}{39}\text{, }\frac{24}{39} \right)

{{\mathbf{e}}^{*2}}=\frac{\left| \left[ \begin{matrix}
   5 & {{x}_{1}} & 9  \\
   -2 & {{x}_{2}} & -5  \\
   6 & {{x}_{3}} & 7  \\
\end{matrix} \right] \right|}{\left| \left[ \begin{matrix}
   5 & -3 & 9  \\
   -2 & -1 & -5  \\
   6 & -4 & 7  \\
\end{matrix} \right] \right|}=\frac{-16}{39}{{x}_{1}}+\frac{-19}{39}{{x}_{2}}+\frac{7}{39}{{x}_{3}}=\left( \frac{-16}{39}\text{, }\frac{-19}{39}\text{, }\frac{7}{39} \right)

{{\mathbf{e}}^{*3}}=\frac{\left| \left[ \begin{matrix}
   5 & -3 & {{x}_{1}}  \\
   -2 & -1 & {{x}_{2}}  \\
   6 & -4 & {{x}_{3}}  \\
\end{matrix} \right] \right|}{\left| \left[ \begin{matrix}
   5 & -3 & 9  \\
   -2 & -1 & -5  \\
   6 & -4 & 7  \\
\end{matrix} \right] \right|}=\frac{14}{39}{{x}_{1}}+\frac{2}{39}{{x}_{2}}+\frac{-11}{39}{{x}_{3}}=\left( \frac{14}{39}\text{, }\frac{2}{39}\text{, }\frac{-11}{39} \right)

para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición

{{\mathbf{e}}^{*}}^{i}\cdot {{\mathbf{e}}_{j}}=\left\{ \begin{matrix}
   1\text{,} & \text{si }i=j  \\
   0\text{,} & \text{si }i\ne j  \\
\end{matrix} \right.

que es equivalente en este caso a

\left[ \begin{matrix}
   {{e}^{*}}_{1}^{1} & {{e}^{*}}_{2}^{1} & {{e}^{*}}_{3}^{1}  \\
   {{e}^{*}}_{1}^{2} & {{e}^{*}}_{2}^{2} & {{e}^{*}}_{3}^{2}  \\
   {{e}^{*}}_{1}^{3} & {{e}^{*}}_{2}^{3} & {{e}^{*}}_{3}^{3}  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   e_{1}^{1} & e_{2}^{1} & e_{3}^{1}  \\
   e_{1}^{2} & e_{2}^{2} & e_{3}^{2}  \\
   e_{1}^{3} & e_{2}^{3} & e_{3}^{3}  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right]

al sustituir se obtiene

\left[ \begin{matrix}
   {-27}/{39}\; & {-15}/{39}\; & {24}/{39}\;  \\
   {-16}/{39}\; & {-19}/{39}\; & {7}/{39}\;  \\
   {14}/{39}\; & {2}/{39}\; & {-11}/{39}\;  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   5 & -3 & 9  \\
   -2 & -1 & -5  \\
   6 & -4 & 7  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right]

lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto

Propiedades de la base dual[editar]

Efecto en un vector[editar]

Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base

\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}^{i}}{{\mathbf{e}}_{i}}}

El resultado de aplicar e*i en v es el siguiente:

{{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot \left( \mathbf{v} \right)={{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{v}^{k}}\cdot {{\mathbf{e}}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{v}^{k}}\left( {{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot {{\mathbf{e}}_{k}} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{v}^{k}}\left( \delta _{k}^{i} \right)}

Y es por eso que e*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente v^i de su vector de coordenadas respecto a la base.

Coordenadas respecto a la base dual[editar]

Hagamos que F sea un elemento genérico de V*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector

\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}^{i}}{{\mathbf{e}}_{i}}}

Produce la relación:

F\cdot \mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}^{i}}\left( F\cdot {{\mathbf{e}}_{i}} \right)}

Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V. Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números":

{{f}_{i}}=F\cdot {{\mathbf{e}}_{i}}

En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:

F=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{f}_{i}}{{\mathbf{e}}^{*i}}}

En efecto esa es la relación:

F\cdot \mathbf{v}=\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{i}}{{\mathbf{e}}^{*i}}} \right)\cdot \mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{i}}\left( {{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot \mathbf{v} \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{i}}{{v}^{*i}}}

Cada transformación lineal F en V* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación ei y es por eso que:

  • (e*1, ..., e*n) es efectivamente una base de V*, que es por lo tanto de dimensión n;
  • la fi es el vector de coordenadas de F con respecto a tal base.