Dominio euclídeo

En álgebra abstracta, y más concretamente en teoría de anillos, un dominio euclídeo (o anillo euclídeo) es un par $(R,\phi )$ donde $R$ es un dominio de integridad y $\phi$ es una aplicación $\phi :R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$ que cumple las siguientes dos condiciones:​

1. Para cualesquiera $a,b\in R$ tales que $b\neq 0$ se cumple que existen $q,r\in R$ de manera que

(1)

$a=bq+r$; \ tales que $r=0$, o bien $\ \phi (r)<\phi (b)$

1. Para dos elementos cualesquiera cualesquiera $a,b\in R\setminus \{0\}$:

(2)

$\phi (a)\leq \phi (a\cdot b)$

En un dominio euclídeo es posible definir un algoritmo de división y un algoritmo de Euclides, de modo análogo a como funcionan en los números enteros.

Terminología

Diversos autores se refieren a la función $\phi$ —que define un dominio euclídeo—, con diferentes nombres: «aplicación (o función) euclídea», «función de medida» (o de tamaño)​, «grado» o «función de norma».​ En algunos contextos se habla de «norma euclídea»,​ si bien esta denominación puede inducir a confusión con la norma vectorial que define la distancia usual.

Es importante destacar que la función de norma solamente toma valores enteros, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse $\phi$ a todo el conjunto de los números reales.

Definiciones alternativas

Algunos autores consideran que la condición (2) es redundante y puede ser omitida de la definición. En efecto, si en un dominio integro se puede definir una función $\phi$ que cumple la primera condición, entonces siempre es posible definir otra que cumpla también la segunda, en particular:​

$\phi ^{*}(r)=Min\{\phi (rd)|r\in R\setminus \{0\}\}$

Puesto que la unicidad no es imprescindible, la condición (1) por sí sola implica que el dominio es euclídeo.

Ejemplos

• Si tomamos el conjunto de los números enteros $\mathbb {Z}$ y como norma euclídea tomamos la aplicación valor absoluto $|\cdot |$, tenemos un dominio euclídeo, pues $|a|\leq |ab|$ para todo $a,b\in \mathbb {Z}$ con $b\neq 0$. Usando esta definición, la propiedad (1) equivale al algoritmo de división usual entre enteros.

• En todo cuerpo $\mathbb {K}$ puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante $1$, ya que, para cualesquiera elementos $a$ y $b$ de $\mathbb {K}$, se satisfacen las dos propiedades de forma trivial, a saber:

1. tomando $q=a/b$ se tiene que $r=0$.
2. $1=\phi (a)\leq \phi (a\cdot b)=1$.

• Considerando el anillo de polinomios en una variable $\mathbb {K} [x]$ con coeficientes en un cuerpo $\mathbb {K}$ y como norma euclídea la aplicación

$\mathrm {grad} :\mathbb {K} [x]-\{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$

que a cada polinomio no nulo de $\mathbb {K} [x]$ le asigna su grado, el resultado es un dominio euclídeo.

• en el anillo de los enteros gaussianos, si para cada elemento $\alpha =a+bi$, donde $a,b\in \mathbb {Z}$, definimos su norma como $N(\alpha )=a^{2}+b^{2}$, tenemos un dominio euclídeo.

Propiedades

En un dominio euclideo, la identidad multiplicativa —el elemento $1_{R}$— siempre tiene la norma más pequeña posible, es decir, $\phi (1_{R})=1$. Misma propiedad tienen todas las unidades del anillo: $\forall u\in R:u\ es\ unidad\implies \phi (u)=1$.​

Todo dominio euclídeo $R$ satisface las siguientes propiedades:

• Todo par de elementos $a,b\in R$ tienen mínimo común múltiplo y máximo común divisor, y se verifica la identidad de Bezout.​
• Todo ideal de $R$ es principal, es decir, $R$ es un dominio de ideales principales.​
• Todo elemento $a\in R$ tiene una descomposición única en factores irreducibles, es decir, $R$ es un dominio de factorización única.​
• En un dominio euclídeo todo elemento irreducible es primo.​

Véase también

• Dominio íntegro.
• Algoritmo de la división.
• Cuerpo.
• Anillo.
• Anillo de polinomios.

Referencias

Bibliografía

• Artin, M. (2010). Algebra (2ª edición). Pearson. 
• Cohn, Paul M. (2012). Introduction to Ring Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 1447104757. 
• Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (8ª edición). Brooks/Cole. ISBN 1-133-59970-2. 
• Jackson, T.H. (1995). CRC Press, ed. From Polynomials to Sums of Squares. ISBN 0750303298. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Euclidean Domain». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Euclidean Ring en PlanetMath..