BIO-LGCA

En biología computacional y matemática, un autómata celular biológico de gas en red (BIO-LGCA, por sus siglas en inglés) es un modelo discreto de agentes biológicos móviles e interactuantes, un subtipo de autómata celular. Los BIO-LGCAs están basados en el autómata celular de gas en red (LGCA), modelo utilizado en dinámica de fluidos. Un modelo BIO-LGCA describe células y otros agentes biológicos móviles como partículas puntuales que se mueven en una red, interactuando con otras partículas cercanas. A diferencia de los modelos de autómatas celulares clásicos, las partículas en BIO-LGCA están caracterizadas por su posición y velocidad. Esto permite modelar y analizar el comportamiento de fluidos activos y de la migración colectiva producido principalmente a través de cambios de momento, más que a través de gradientes de densidad. Las aplicaciones de los BIO-LGCA incluyen invasión y progresión de cáncer.​​

Definición del modelo

Como todo modelo de autómatas celulares, un modelo BIO-LGCA está definido por una red ${\mathcal {L}}$, un espacio de estados ${\mathcal {E}}$, una vecindad ${\mathcal {N}}$, y una regla ${\mathcal {R}}$.​

• La red (${\mathcal {L}}$) define el conjunto de todas las posiciones posibles de las partículas. Las partículas están restringidas a ocupar ciertas posiciones, típicamente provenientes de una teselación periódica y regular del espacio. Matemáticamente, ${\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ es un subconjunto discreto del espacio $d$-dimensional.
• El espacio de estados (${\mathcal {E}}$) describe los estados posibles de las partículas dentro de cada sitio de la red $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$. En BIO-LGCA, múltiples partículas con diferentes velocidades pueden ocupar un sitio particular de la red, a diferencia de los modelos de autómatas celulares clásicos, donde típicamente, a lo más una sola partícula puede residir en cada sitio de la red simultáneamente. Esto hace al espacio de estados ligeramente más complejo que el de modelos de autómatas celulares clásicos (ver la siguiente sección).
• La vecindad (${\mathcal {N}}$) indica el subconjunto de sitios de la red que determina la dinámica de un sitio dado de la red. Las partículas sólo interactúan con otras partículas dentro de su vecindad. Las condiciones de frontera deben ser definidas para vecindades de sitios de la red en la frontera. Las vecindades y condiciones de frontera son definidas de igual forma que para autómatas celulares clásicos (ver autómata celular).
• La regla (${\mathcal {R}}$) dicta el movimiento, proliferación, o muerte de partículas en el tiempo. Al igual que todo autómata celular, los BIO-LGCA evolucionan en pasos de tiempo discretos. Para simular la dinámica de sistema, la regla es aplicada a cada sitio de la red simultáneamente en cada paso de tiempo. La aplicación de la regla cambia el estado original de un sitio de la red a un nuevo estado. La regla depende de los estados de los sitios en la vecindad de interacción del sitio que se actualizará. En BIO-LGCA, la regla está dividida en dos pasos: un paso de interacción probabilista seguido de un paso de transporte determinista. El paso de interacción simula reorientación, procesos de nacimiento, y de muerte, y está definido específicamente para el proceso modelado. El paso de transporte mueve partículas a sitios vecinos de la red en la dirección de sus velocidades. Ver abajo para más detalles.

Espacio de estados

La subestructura de un sitio de la red en BIO-LGCA con seis canales de velocidad (correspondientes a una red hexagonal bidimensional) y un solo canal de descanso. En este caso $b=6$, $a=1$, y la capacidad de carga es $K=7$. Los canales 2, 3, 6 y 7 están ocupados, por lo que la configuración del sitio es $\mathbf {s} =(0,1,1,0,0,1,1)$, y el número de partículas es $n\left(\mathbf {s} \right)=\sum _{i=1}^{K}s_{i}=4$.

Para modelar las velocidades de las partículas explícitamente, se presupone que los sitios de la red tienen una subestructura específica. Cada sitio de la red $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ está conectado a sus vecinos a través de vectores llamados "canales de velocidad", $\mathbf {c} _{i}$, $i\in \{1,2,\ldots ,b\}$, donde el número de canales de velocidad $b$ es igual al número de vecinos más cercanos, y por lo tanto depende de la geometría de la red ($b=2$ para un enrejado unidimensional,$b=6$ para un enrejado hexagonal bidimensional, etcétera). En dos dimensiones, los canales de velocidad están definidos como $\mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)$. Además, se puede definir un número arbitrario $a$ de canales llamados "de descanso", tales que $\mathbf {c} _{i}=(0,0)$, $i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}$. Se dice que un canal está ocupado si hay una partícula en el sitio de la red con una velocidad igual al canal de velocidad. La ocupación del canal $\mathbf {c} _{i}$ es indicada por el número de ocupación $s_{i}$. Típicamente, se presupone que las partículas obedecen un principio de exclusión, tal que a lo más una partícula puede ocupar un canal de velocidad en un sitio de la red simultáneamente. En este caso, los números de ocupación son variables Booleanas, i.e. $s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}$, por lo que cada sitio tiene una capacidad de carga máxima $K=a+b$. Dado que el conjunto de todos números de ocupación de todos los canales definen el número de partículas y sus velocidades en cada sitio de la red, el vector $\mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)$describe el estado de un sitio de la red, y el espacio de estados está dado por ${\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}$.

Regla y dinámica del modelo

Los estados de cada sitio en la red se actualizan simultáneamente en pasos de tiempo discretos para simular la dinámica del modelo. La regla está dividida en dos pasos. El paso de interacción probabilista simula interacciones entre partículas, mientras que el paso de transporte determinista simula el movimiento de partículas.

Paso de interacción

Según la aplicación concreta, el paso de interacción puede estar compuesto de operadores de reacción y/o reorientación.

El operador de reacción ${\mathcal {A}}$ reemplaza el estado $\mathbf {s}$ de un sitio con un nuevo estado $\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}$ de acuerdo a una probabilidad de transición $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$, la cual depende del estado de sitios vecinos de la red $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}$, para simular la influencia de partículas cercanas en el proceso reactivo. El operador de reacción no conserva el número de partículas, permitiendo simular nacimiento y muerte de los individuos. La probabilidad de transición del operador de reacción es definida normalmente ad hoc a partir de observaciones fenomenológicas.

El operador de reorientación ${\mathcal {O}}$ también reemplaza un estado $\mathbf {s}$ con un estado nuevo $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ con probabilidad $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$. Sin embargo, este operador conserva el número de partículas y, por lo tanto, sólo modela cambios en la velocidad de las partículas redistribuyéndolas entre los canales de velocidad. La probabilidad de transición de este operador puede ser determinada a partir de observaciones estadísticas (utilizando el principio de calibre máximo) o de dinámicas individuales conocidas (utilizando la distribución de probabilidad angular estacionaria discretizada dada por el la ecuación de Fokker-Planck asociada a una ecuación de Langevin que describa la dinámica de reorientación), y típicamente toma la forma​​

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$$

donde $Z$ es una constante de normalización (también conocida como la función de partición), $H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ es una función análoga a una energía, la cual será minimizada con alta probabilidad por las partículas al cambiar su dirección de movimiento, $\beta$ es un parámetro libre inversamente proporcional a la aleatoreidad de las partículas al reorientarse (análogo al inverso de la temperatura en termodinámica), y $\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ es una delta de Kronecker que asegura que el número de partículas $n\left(\mathbf {s} \right)$ antes y después de la reorientación $n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ no cambien.

Al estado después de aplicar los operadores de reacción y reorientación $\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ se denomina como la configuración post-interacción y se denota por $\mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$.

Dinámica del modelo BIO-LGCA. Cada paso de tiempo, se cambian simultáneamente los números de ocupación de forma estocástica a través de los operadores de reacción y/o reorientación en todos los sitios de la red durante el paso de interacción. Posteriormente, las partículas son movidas de forma determinista al mismo canal de velocidad de un sitio vecino en la dirección de su canal de velocidad, durante el paso de transporte. Los colores en el diagrama permiten seguir la dinámica de las partículas en sitios individuales. Este diagrama presupone una regla que conserva partículas (sin operador de reacción).

Paso de transporte

Después del paso de interacción, el paso de transporte determinista se aplica simultáneamente a todos sitios de la red. El paso de transporte simula el movimiento de agentes de acuerdo a su velocidad, debido a la autopropulsión de organismos vivientes.

Durante este paso, los números de ocupación de los estados post-interacción serán definidos como los nuevos estados de ocupación del mismo canal en el sitio vecino en la dirección del canal de velocidad, i.e. $s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )$.

Un nuevo paso de tiempo comienza cuando han ocurrido ambos pasos de interacción y de transporte. Por lo tanto, la dinámica del BIO-LGCA puede ser resumida en la ecuación en diferencias finitas estocástica microdinámica

$$s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$$

Ejemplos de dinámicas de interacción

Un modelo BIO-LGCA hexagonal de formación polar de enjambres. En este modelo, las células cambian sus velocidades preferencialmente para ser paralelas al momento lineal total de la vecindad. Los sitios de la red tienen colores según su orientación, de acuerdo al círculo cromático. Los sitios vacíos son blancos. Se utilizaron condiciones de frontera periódicas.

La probabilidad de transición de los operadores de reacción y/o reorientación deben ser definidas de tal forma que simulen el sistema a modelar apropiadamente. Algunas interacciones elementales y sus probabilidades de transición correspondientes están listadas debajo.

Caminata aleatoria

En la ausencia de todo estímulo externo o interno, las células pueden moverse aleatoriamente sin preferencia direccional. En este caso, el operador de reorientación puede ser definido a través de una probabilidad de transición

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}$$

Un modelo BIO-LGCA hexagonal de medios excitables. En este modelo, el operador de reacción favorece la reproducción rápida de partículas dentro canales de velocidad, y la muerte lenta de partículas dentro de canales de descanso. Las partículas en canales de descanso inhiben la reproducción de partículas en canales de velocidad. El operador de reorientación es el operador de caminata aleatoria mencionada en el texto principal. Los sitios de la red tienen un color más brillante mientras más partículas móviles contengan. Las partículas en canales de descanso no son mostradas. Se utilizaron condiciones de frontera periódicas.

donde $Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$. Esta probabilidad de transición sólo permite configuraciones post-interacción $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$con el mismo número de partículas que la configuración pre-interacción $\mathbf {s}$, elegidas uniformemente.

Proceso sencillo de muerte y nacimiento

Si los organismos se reproducen y mueren independientemente de otros individuos (con la posible excepción del requerimiento de una capacidad de carga finita), entonces un proceso sencillo de nacimiento y muerte puede ser simulado con una probabilidad de transición dada por​

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]$$

donde , $r_{b},r_{d}\in [0,1]$, $r_{b}+r_{d}\leq 1$ son las probabilidades constantes de nacimiento y muerte, respectivamente, $\delta _{i,j}$ es la delta de Kronecker que permite un solo evento de muerte o nacimiento cada paso de tiempo, y es $\Theta (x)$ es la función de Heaviside, la cual garantiza que el número de partículas sea positivo y acotado por la capacidad de carga $K$.

Un modelo BIO-LGCA cuadrado de células que interactúan de forma adhesiva. Las células se mueven preferencialmente en la dirección del gradiente de densidad de células. Los sitios de la red tiene un color azul cada vez más oscuro al incrementar la densidad celular. Los sitios vacíos tienen color blanco. Se utilizaron condiciones periódicas de frontera.

Interacciones adhesivas

Las células pueden adherirse una a otra a través de moléculas de cadherina en la superficie celular. Las interacciones mediadas por cadherina provocan la formación de agregados celulares. La formación de agregados celulares mediante biomoléculas adhesivas puede ser modeleda por un operador de reorientación con probabilidades de transición definidas como​

$$P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]$$

Un modelo BIO-LGCA cuadrado de células interactuando indirectamente a través de quimiotaxis. En este modelo, las células producen quimioatrayente difusivo con cierta vida media. Las células se mueven preferencialemente en la dirección del gradiente de quimioatrayente. Los sitios de la red se colorean de manera aditiva, con tonos azules más oscuros al incrementar la densidad celular, y con tonos amarillos más oscuros al incrementar la densidad de quimioatrayente. Los sitios vacíos de la red tienen color blanco. Se utilizaron condiciones de frontera periódicas.

donde $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ es un vector que apunta en la dirección de la densidad celular máxima, definida como $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)$, donde $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}$ es la configuración del sitio de la red $\mathbf {r} '$ dentro de la vecindad ${\mathcal {N}}$, y $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ es el momento lineal de la configuración post-reorientación, definido como $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}$ . Esta probabilidad de transición favorece las configuraciones post-reorientación con células moviéndose en dirección del gradiente de densidad celular.

Análisis matemático

Dado que un análisis exacto de un modelo estocástico basado en agentes se vuelve rápidamente imposible debido a las correlaciones de alto orden entre todos los agentes,​ el método general para analizar un modelo BIO-LGCA es convertirlo en una ecuación en diferencias finitas (EDF) determinista aproximada, que describa la dinámica promedio de la población, y posteriormente realizando el análisis matemático de este modelo aproximado y comparando los resultados con el modelo BIO-LGCA original.

Para empezar, el valor esperado de la ecuación microdinámica $s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$ se obtiene

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$$

donde $\langle \cdot \rangle$ denota el valor esperado, y $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ es el valor esperado del número de ocupación $m$ -ésimo del sitio $\mathbf {r}$ de la red en el paso del tiempo $k$ . Sin embargo, el término de la derecha, $\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ es altamente no lineal en los números de ocupación tanto del sitio $\mathbf {r}$ como de los sitios de la red en la vecindad de interacción ${\mathcal {N}}$, debido a la forma de la probabilidad de transición $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ y la estadística ocupación de partículas dentro de los canales de velocidad (por ejemplo, provenientes de un principio de exclusión impuesto en las ocupaciones de canales). Esta no linealidad daría lugar a correlaciones y momentos de alto orden entre todos los números de ocupación de canales involucrados. En su lugar, se suele suponer una aproximación de campo medio, en la cual se desprecian todas las correlaciones y momentos de alto orden, de modo que las interacciones directas partícula-partícula son sustituidas por interacciones con los valores esperados respectivos. En otras palabras, si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ son variables aleatorias, y $F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ es una función, entonces $\left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)$ bajo esta aproximación. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación a

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$$

donde ${\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$ es una función no lineal de la configuración esperada $\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)$ del sitio de la red y la configuración esperada $\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)$ de la vecindad, que depende de las probabilidades de transición y la estadística de las partículas en el nodo. A partir de esta EDF no lineal, se pueden identificar varios estados estacionarios homogéneos, o constantes ${\bar {f}}_{m}$ independientes de $\mathbf {r}$ y $k$ que son soluciones de la EDF. Para estudiar las condiciones de estabilidad de estos estados estacionarios y el potencial de formación de patrones del modelo, se puede realizar un análisis de estabilidad lineal. Para hacerlo, la EDF no lineal se linealiza como

$$f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)$$

donde $\mathrm {ss}$ denota el estado estacionario homogéneo $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}$, suponiendo una vecindad de von Neumann . Para convertirla en una ecuación en diferencias finitas más familiar con incrementos temporales únicamente, se puede aplicar una transformada discreta de Fourier de ambos lados de la ecuación. Después de aplicar el teorema del desplazamiento y aislar el término con incremento temporal a la izquierda, se obtiene la ecuación de red-Boltzmann​

$${\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}$$

donde $i={\sqrt {-1}}$ es la unidad imaginaria, $L$ es el tamaño de la red a lo largo de una dimensión, $\mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$ es el número de onda de Fourier, y ${\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}$ denota la transformada discreta de Fourier. En notación matricial, esta ecuación se simplifica a ${\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)$, donde la matriz $\Gamma$ se llama propagador de Boltzmann y se define como

$$\Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right].$$

Los eigenvalores $\lambda \left(\mathbf {q} \right)$ del propagador de Boltzmann dictan las propiedades de estabilidad del estado estacionario:​

• Si $\left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1$, donde $|\cdot |$ denota el módulo, entonces las perturbaciones con el número de onda $\mathbf {q}$ crecen con el tiempo. Si $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1$, y $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$, entonces las perturbaciones con número de onda $\mathbf {q} _{\mathrm {max} }$ dominarán y se observarán patrones con una longitud de onda clara. De lo contrario, el estado estacionario es estable y cualquier perturbación decaerá.
• Si $\mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0$, donde $\mathrm {arg} (\cdot )$ denota el argumento, entonces las perturbaciones tienen un movimiento direccional y se observan los comportamientos no estacionarios a nivel población. De lo contrario, la población parecerá estática a nivel macroscópico.

Aplicaciones

La construcción de un BIO-LGCA para el estudio de fenómenos biológicos implica, principalmente, definir probabilidades de transición apropiadas para el operador de interacción, aunque definiciones precisas del espacio de estados (para considerar varios fenotipos celulares, por ejemplo), condiciones de frontera (para modelar fenómenos en condiciones de confinamiento), vecindad (para reproducir cuantitativamente los rangos de interacción experimental) y capacidad de carga (para simular efectos de aglomeración para tamaños celulares conocidos) pueden ser importantes para aplicaciones específicas. Si bien la distribución del operador de reorientación se puede obtener a través de los métodos estadísticos y biofísicos antes mencionados, la distribución de los operadores de reacción se pueden estimar a partir de caracterizaciones estadísticas de experimentos in vitro, por ejemplo.​

Los modelos BIO-LGCA se han utilizado para estudiar varios fenómenos celulares, biofísicos y médicos. Algunos ejemplos incluyen:

• Angiogénesis :​ se compararon experimentos in vitro con células endoteliales y simulaciones BIO-LGCA para identificar los procesos involucrados durante la angiogénesis y su jerarquía. Se descubrió que la adhesión, la alineación, el movimiento por contacto y la remodelación de la matriz extracelular están involucradas en la angiogénesis, mientras que las interacciones de largo alcance no son vitales para el proceso.
• Fluidos activos :​ se investigaron las propiedades físicas macroscópicas de una población de partículas que interactúan a través de alineación de velocidad polar utilizando un modelo BIO-LGCA. Se encontró que el aumento en la densidad de partículas inicial y la fuerza de interacción dan como resultado una transición de fase de segundo orden a partir de un estado homogéneo y desordenado a un estado ordenado, con patrones de densidad, y en movimiento.
• Epidemiología :​ se utilizó un modelo espacial SIR de BIO-LGCA para estudiar el efecto de diferentes estrategias de vacunación y el efecto de aproximar una epidemia espacial con un modelo no espacial. Se descubrió que las estrategias de vacunación de tipo barrera son mucho más efectivas que las estrategias de vacunación espacialmente uniformes. Además, se encontró que los modelos no espaciales sobreestiman en gran medida la tasa de infección.
• Embotellamiento celular:​ modelos in vitro y BIO-LGCA se utilizaron para estudiar el comportamiento metastásico en el cáncer de mama. El modelo BIO-LGCA reveló que la metástasis puede exhibir diferentes comportamientos, como estados aleatorios similares a gases, embotellamientos similares a sólidos y estados correlacionados similares a fluidos, según el nivel de adhesividad entre las células, la densidad de la matriz extracelular y las interacciones entre células y la matriz extracelular.

Enlaces externos

• Simulador BIO-LGCA: un simulador en línea con interacciones elementales y valores de parámetros personalizables.
• Paquete de Python de BIO-LGCA: un paquete Python de código abierto para implementar simulaciones de modelos BIO-LGCA.