Diferencia entre revisiones de «Número de Liouville»
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En [[teoría de números]], un '''número de Liouville''' es un [[número real]] ''x'' con la propiedad de que, para cualquier [[entero]] positivo ''n'', existen otros dos enteros ''p'' y ''q'' tales que ''q'' > 1 y también que satisfacen: |
En [[teoría de números]], un '''número de Liouville''' es un [[número real]] ''x'' con la propiedad de que, para cualquier [[entero]] positivo ''n'', existen otros dos enteros ''p'' y ''q'' tales que ''q'' > 1 y también que satisfacen y me la pela pinshes matematicas >:v: |
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Revisión del 00:38 28 mar 2017
En teoría de números, un número de Liouville es un número real x con la propiedad de que, para cualquier entero positivo n, existen otros dos enteros p y q tales que q > 1 y también que satisfacen y me la pela pinshes matematicas >:v:
- 0 < |x − p/q| < 1/qn.
Gracias a las fracciones continuas sabemos que todo número real puede aproximarse por infinitos racionales p/q que verifican 0 < |x − p/q| < 1/q2. Los números de Liouville son aquellos para los cuales el 2 en el exponente de q puede ser cambiado por cualquier natural n, o sea que de alguna manera son los "mejor aproximados" por racionales.
Algunas propiedades
- Todo número de Liouville es irracional.
- Los números de Liouville son trascendentes.
- El conjunto de números de Liouville tiene medida de Lebesgue cero.
- El conjunto de números de Liouville puede obtenerse como una intersección numerable de abiertos densos en ℝ.[1] Como consecuencia de esto (utilizando el teorema de Baire y que los reales forman un espacio métrico completo) se deduce que este conjunto es no numerable y denso en los reales.
Constante de Liouville
El ejemplo más conocido de número de Liouville es el que se denomina "constante de Liouville", definido como:
Este fue el primer número que pudo demostrarse que es trascendente, prueba debida a Joseph Liouville (1850).[2]
Referencias
- ↑ K. Senthil Kumar, R. Thangadurai, M. Waldschmidt (2014). «Liouville numbers and Schanuel’s Conjecture». Archiv der Mathematik (Springer Basel) 102 (1): 59-70. ISSN 1420-8938. Consultado el 7 de septiembre de 2015.
- ↑ Weisstein, Eric (2002). CRC concise encyclopedia of mathematics (en inglés) (segunda edición). Chapman & Hall/CRC. p. 1783. ISBN 1-58488-347-2.