Número de Liouville

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En teoría de números, un Número de Liouville es un número real x con la propiedad de que, para cualquier entero positivo n, existen otros dos enteros p y q tales que q > 1 y también que satisfacen:

0 < |xp/q| < 1/qn.

Gracias a las fracciones continuas sabemos que todo número real puede aproximarse por infinitos racionales p/q que verifican 0 < |xp/q| < 1/q2. Los números de Liouville son aquellos para los cuales el 2 en el exponente de q puede ser cambiado por cualquier natural n, o sea que de alguna manera son los "mejor aproximados" por racionales.

Algunas propiedades[editar]

  • Todo número de Liouville es irracional.
  • Los números de Liouville son trascendentes.
  • El conjunto de números de Liouville tiene medida de Lebesgue cero.
  • El conjunto de números de Liouville puede obtenerse como una intersección numerable de abiertos densos en . [1] Como consecuencia de esto (utilizando el teorema de Baire y que los reales forman un espacio métrico completo) se deduce que este conjunto es no numerable y denso en los reales.

Constante de Liouville[editar]

El ejemplo más conocido de número de Liouville es el que se denomina "constante de Liouville", definido como:

{\sum_{k=1}^\infty} 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots

Este fue el primer número que pudo demostrarse que es trascendente, prueba debida a Joseph Liouville (1850). [2]

Referencias[editar]

  1. K. Senthil Kumar, R. Thangadurai, M. Waldschmidt (2014). «Liouville numbers and Schanuel’s Conjecture». Archiv der Mathematik (Springer Basel) 102 (1): 59–70. ISSN 1420-8938. Consultado el 7 de septiembre de 2015. 
  2. Weisstein, Eric (2002). CRC concise encyclopedia of mathematics (en inglés) (segunda edición). Chapman & Hall/CRC. p. 1783. ISBN 1-58488-347-2.