Función definida a trozos

Ejemplo de gráfica de una función definida a trozos.

En matemáticas, una función segmentada (también denominada función por , función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición, (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.​

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En análisis convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de partes subderivada para funciones definidas a trozos.^{[cita requerida]}

Definiciónes

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función

$f:A\to B$

definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de conjuntos disjuntos A_i

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad {\mbox{ con }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \ \forall j\neq i$

y que, para cada uno de los A_i, existe una función f_i

$f_{i}:A_{i}\to B$

Entonces

f es una función definida a trozos si $\forall x\in A_{i}\ f(x)=f_{i}(x),\quad 1\leq i\leq n$.

En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.

Notación e interpretación

Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos del dominio.

Por ejemplo, la función valor absoluto

$\mathrm {abs} :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

puede definirse así

$|x|\equiv \mathrm {abs} \,(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-x,&{\mbox{si }}&x<0\\x,&{\mbox{si }}&x\geq 0\end{array}}\right.$

En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos

$D_{1}=\{x\in \mathbb {R} :x<0\},\quad D_{2}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$

los cuales son disjuntos y cumplen

$D_{1}\cup D_{2}=\mathbb {R}$

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del dominio.

x	abs(x)	Expresión utilizada
−3	3	−x
−0.1	0.1	−x
0	0	x
1/2	1/2	x
5	5	x

En general, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar.

Continuidad

Una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de $x_{0}$.

Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese intervalo.

La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en $x_{0}$.

Véase también

• Función indicatriz
• Valor absoluto
• Función signo
• Función unitaria de Heaviside
• Spline
• B-spline