En matemáticas, el álgebra diferencial comprende el estudio de los anillos diferenciales, los campos diferenciales y las álgebras diferenciales con anillos, campos, y álgebras dotadas de un número finito de derivaciones, que son funciones unarias que son lineales y satisfacen la regla del producto de Leibniz. Un ejemplo natural de campo diferencial es el campo de las funciones racionales en una variable sobre los números complejos,
donde la derivación es la diferenciación con respecto a
Álgebra diferencial se refiere también al área de las matemáticas que consiste en el estudio de estos objetos algebraicos y su uso en el estudio algebraico de las ecuaciones diferenciales. El álgebra diferencial fue introducida por Joseph Ritt en 1950.[1].
Anillo diferencial[editar]
Un anillo diferencial es un anillo
dotado de una o más derivaciones, que son homomorfismos de grupos aditivos
![{\displaystyle \partial :R\to R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a9e9305fc275be011448dc83be2e0a15d3e83e)
tales que cada derivación
![{\displaystyle parcial}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6238f6ef418feb5cdb70df90da41aaf76b2447)
satisface la regla del producto de Leibniz:
![{\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78be53cedbce6c5c77d68db7387955e557fb44)
para cada
Nótese que el anillo puede ser no conmutativo, por lo que la forma algo estándar
de la regla del producto en entornos conmutativos puede ser falsa. Si
es una multiplicación en el anillo, la regla del producto es la identidad
![{\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \times \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \times \partial ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec555b46617b8b33e60df4bad578a66a8322e11)
donde
significa la función que mapea un par
al par
Obsérvese que un anillo diferencial es un álgebra diferencial (no necesariamente graduada)
.
Cuerpo diferencial[editar]
Un cuerpo diferencial es un cuerpo conmutativo
dotado de alguna forma de derivación. La conocida fórmula para diferenciar fracciones:
![{\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {\partial (u)\ v-u,\partial (v)}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b648dd5766974a34e629951e9a34b0266ce3ab)
se deduce de la regla del producto. En efecto, debemos tener
![{\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\times v\right)=\partial (u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359f0b3369526127509988eef98357546e0b2c85)
Por la regla del producto,
![{\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)\,v+{\frac {u}{v}}\,\partial (v)=\partial (u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344db690df8bd17deab217b28650302d07fdf9e7)
Resolviendo con respecto a
obtenemos la identidad buscada.
Si
es un cuerpo diferencial, entonces el cuerpo de constantes de
es
Un álgebra diferencial sobre un cuerpo
es una
-álgebra
en la que las derivaciones conmutan con la multiplicación escalar. Es decir, para todo
y
![{\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e50733da152f6a92efadb5eb1ec55b46e9fb08)
Si
![{\displaystyle \eta :\mathbb {K} \to Z(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7bae48c8d59382bac6e9ae87ff2c59f7f14153)
es el
homomorfismo de anillos al
centro de A que define la
multiplicación escalar en el álgebra, se tiene
![{\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb17a54072e3e15ba77a7345ed579ed419345e0)
Como en el caso anterior, la derivación debe obedecer a la regla de Leibniz sobre la multiplicación del álgebra, y debe ser lineal sobre la suma. Así, para todo
y
![{\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1078765f56c4b1f012c2fe6dc68419867782f5ff)
y
![{\displaystyle \partial (ax+by)=a,\partial x+b,\partial y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e053d178ba614f43fcdfcae9d22849ee33d2a40b)
Derivación en un álgebra de Lie[editar]
Una derivación en un álgebra de Lie
es una aplicación lineal
que satiface la regla del producto de Leibniz:
![{\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0711ca5b9b88fa54052d61f9d264083d8f3b657)
Para cualquier
es una derivación en
resultado que se sigue de la identidad de Jacobi. Cualquier derivación de ese tipo se llama derivación interna. Este tipo de derivación se extiende al álgebra envolvente universal del álgebra de Lie en cuestión.
Si
es un álgebra unitaria, entonces
ya que
Por ejemplo, en un cuerpo diferencial de característica cero
los racionales son siempre un subcuerpo del cuerpo de constantes de
.
Cualquier anillo es un anillo diferencial con respecto a la derivación trivial que mapea cualquier elemento del anillo a cero.
El cuerpo
tiene una estructura única como cuerpo diferencial, determinada al establecer
los axiomas de cuerpo junto con los axiomas para las derivaciones aseguran que la derivación es diferencial respecto a
Por ejemplo, por conmutatividad de la multiplicación y la regla del producto de Leibniz se tiene que
El cuerpo diferencial
no tiene solución a la ecuación diferencial
![{\displaystyle \partial (u)=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44727db8463240c2c140bbba678535f5e9bf8d52)
pero se expande a un campo diferencial mayor que incluye la función
![{\displaystyle e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e8e0dc07bfcfa629973e24c19ffe4ce15d4b43)
que sí tiene solución a esta ecuación.
Un campo diferencial con soluciones a todos los sistemas de ecuaciones diferenciales se llama un cuerpo diferencialmente cerrado. Tales campos existen, aunque no aparecen como objetos algebraicos o geométricos naturales. Todos los campos diferenciales (de cardinalidad acotada) se incrustan en un gran campo diferencialmente cerrado. Los campos diferenciales son los objetos de estudio de la
teoría diferencial de Galois.
Ejemplos naturales de derivaciones son las derivadas parciales, las derivadas de Lie, la derivada de Pincherle y el conmutador respecto a un elemento de un Álgebra.
Referencias[editar]