Ver el código de «Variedad algebraica»

[[Image:Twisted cubic curve.png|200px|thumb|Una [[cúbica alabeada]] es una variedad algebraica proyectiva]]

En [[geometría algebraica]], una '''variedad algebraica''' es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un [[polinomio]] (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la [[geometría algebraica]] clásica (y en ciertos aspectos moderna).

Desde un punto de vista histórico, el [[teorema fundamental del álgebra]] estableció la relación entre el [[álgebra]] y la [[geometría]] al indicar que un [[polinomio]] de una variable en los [[números complejos]] queda determinado por su conjunto de raíces, que es un objeto geométrico inherente. Construyendo sobre este resultado, el [[Teorema de los ceros de Hilbert]] establece una correspondencia fundamental entre los [[ideal de un anillo|ideales]] de los [[Anillo de polinomios|anillos de polinomios]] y los subconjuntos del [[espacio afín]]. Utilizando el teorema de ceros y sus resultados asociados, es posible capturar la noción geométrica de una [[variedad (matemáticas)|variedad]] en términos algebraicos como también hacer que la geometría entienda sobre temas de la [[teoría de anillos]].

Las convenciones relativas a la definición de una variedad algebraica difieren ligeramente. Por ejemplo, algunas definiciones requieren que una variedad algebraica sea irreducible, lo que significa que no es la [[Unión (teoría de conjuntos)|unión]] de dos [[Conjunto (matemáticas)|conjuntos]] más pequeños que son [[Conjunto cerrado|cerrado]] en la [[topología de Zariski]]. Bajo esta definición, las variedades algebraicas no irreducibles se llaman '''conjuntos algebraicos'''. Otras convenciones no requieren irreducibilidad.

El [[teorema fundamental del álgebra]] establece un vínculo entre el [[álgebra]] y la [[geometría]] al demostrar que un [[polinomio mónico]] (un objeto algebraico) en una variable con coeficientes en números complejos está determinado por el conjunto de sus [[Cero de una función|raíces]] (un objeto geométrico) en el [[plano complejo]]. Generalizando este resultado, la [[teorema de los ceros de Hilbert]] proporciona una correspondencia fundamental entre los [[Ideal (teoría de anillos)|ideales]] de [[anillo de polinomios|anillos de polinomios]] y conjuntos algebraicos. Usando el ''Nullstellensatz'' y resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre cuestiones sobre conjuntos algebraicos y cuestiones de [[teoría de anillos]]. Esta correspondencia es una característica definitoria de la geometría algebraica.

Muchas variedades algebraicas son [[colectores]], pero una variedad algebraica puede tener [[punto singular de una variedad algebraica|puntos singulares]] mientras que un colector no. Las variedades algebraicas pueden caracterizarse por su [[dimensión de una variedad algebraica|dimensión]]. Las variedades algebraicas de dimensión uno se llaman [[curva algebraica]]s y las variedades algebraicas de dimensión dos se llaman [[superficie algebraica| superficies algebraicas]].

En el contexto de la teoría moderna de [[Esquema (matemáticas)|esquema]], una variedad algebraica sobre un campo es un esquema integral (irreducible y reducido) sobre ese campo cuyo [[morfismo de estructura]] está separado y es de tipo finito.
== Descripción general y definiciones ==
Una ''variedad afín'' sobre un [[cuerpo algebraicamente cerrado]] es conceptualmente el tipo de variedad más fácil de definir, lo que se hará en esta sección. Posteriormente, se pueden definir variedades proyectivas y cuasi-proyectivas de forma similar. La definición más general de una variedad se obtiene juntando variedades cuasi-proyectivas más pequeñas. No es obvio que se puedan construir ejemplos genuinamente nuevos de variedades de esta manera, pero [[Masayoshi Nagata]] dio un ejemplo de una nueva variedad de este tipo en la década de 1950.

===Variedades afines===
Para un [[cuerpo algebraicamente cerrado]] {{mvar|K}} y un [[número natural]] {{mvar|n}}, sea {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} un [[Affine space|espacio afín]] en {{math|''K''}}, identificado como <math>K^n</math> mediante la elección de un sistema coordenado afín. Los polinomios {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} en el anillo {{math|''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}} se pueden considerar como funciones con valores ''K'' en {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} si se evalúa {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} en los puntos en  {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}},o sea eligiendo valores en ''K'' para cada ''x<sub>i</sub>''. Para cada conjunto ''S'' de polinomios en  {{math|''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}}, define el lugar geométrico de los ceros ''Z''(''S'') que son el conjunto de puntos en {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} en los cuales las funciones en ''S'' se anulan simultáneamente, es decir:

:<math>Z(S) = \left \{x \in \mathbf{A}^n \mid f(x) = 0 \text{ para todo } f\in S \right \}.</math>

Un subconjunto ''V'' de {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} es denominado un '''conjunto algebraico afín''' si ''V'' = ''Z''(''S'') para algún ''S''.{{r|Hartshorne|page1=2}} Un conjunto algebraico afín no vacío ''V'' se denomina '''irreducible''' si no puede ser expresado como la  unión de dos subconjuntos algebraicos [[Subconjunto propio|propios]].{{r|Hartshorne|page1=3}} Un conjunto algebraico afín irreducible también es llamado una '''variedad afín'''.{{r|Hartshorne|page1=3}} Muchos autores usan la frase ''variedad afín'' para referirse a todo conjunto algebraico afín, irreducible o no<ref group="note">Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3</ref>

A las variedades afines se les puede dar una [[Topología|topología natural]] declarando que los [[Conjunto cerrado|conjuntos cerrados]] son precisamente los conjuntos algebraicos afines. Esta topología se denomina [[topología de Zariski]].{{r|Hartshorne|page1=2}}

Dado un subconjunto ''V'' de {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}}, se define ''I''(''V'') como el ideal de todas las funciones polinómicas que se anulan en ''V'':

:<math>I(V) = \left \{f \in K[x_1,\ldots,x_n] \mid f(x) = 0 \text{ para todo } x\in V \right \}.</math>

Para cualquier conjunto algebraico afín ''V'', el '''anillo de coordenadas''' de ''V'' es el resultado del anillo polinómico [[Anillo cociente|cocientado]] por este ideal.{{r|Hartshorne|page1=4}}

===Variedades proyectivas y cuasi -proyectivas===
{{Artículo principal|Variedad proyectiva|Variedad cuasi-proyectiva}}
Sea {{mvar|k}} un campo cerrado algebraico y sea {{math|'''P'''<sup>''n''</sup>}} el [[espacio proyectivo]] -''n'' en  {{mvar|k}}.  Sea {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} en {{math|''k''[''x''<sub>0</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}} un polinomio homogéneo de grado ''d''.  No está bien definido para evaluar {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} en puntos de {{math|'''P'''<sup>''n''</sup>}} en [[coordenadas homogéneas]].  Sin embargo, ya que {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} es homogéneo, lo que significa que  {{math|&thinsp;''f''&thinsp; (''λx''<sub>0</sub>, ..., ''λx<sub>n</sub>'') {{=}} ''λ<sup>d</sup>''&thinsp;''f''&thinsp; (''x''<sub>0</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')}}, tiene sentido preguntarse si {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} desaparece en un punto {{math|[''x''<sub>0</sub> : ... : ''x<sub>n</sub>'']}}.  Para cada conjunto ''S'' de polinomios homogéneos, definimos el foco cero de ''S'' como el conjunto de puntos en {{math|'''P'''<sup>''n''</sup>}} en el cual las funciones en ''S'' desaparecen:

:<math>Z(S) = \{x \in \mathbf{P}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S\}.</math>

Un subconjunto ''V'' de {{math|'''P'''<sup>''n''</sup>}} de denomina ''conjunto algebraico proyectivo'' si ''V'' = ''Z''(''S'') para algún ''S''.{{r|Hartshorne|page1=9}} Un conjunto algebraico proyectivo irreducible se llama "variedad proyectiva".{{r|Hartshorne|page1=10}}

Las variedades proyectivas también cuentan con la topología de Zariski declarando que todos los conjuntos algebraicos son cerrados.

Dado un subconjunto ''V'' de {{math|'''P'''<sup>''n''</sup>}}, sea ''I''(''V'') el ideal generado por todos los polinomios homogéneos que desaparecen en ''V''. Para cualquier conjunto algebraico proyectivo ''V'', el ''[[anillo de coordenadas homogéneo|anillo de coordenadas]]'' de ''V'' es el cociente del anillo de polinomios por este ideal.{{r|Hartshorne|page1=10}}

Una ''[[variedad cuasi-proyectiva]]'' es un subconjunto [[topología de Zariski|abierto de Zariski]] de una variedad proyectiva. Obsérvese que toda variedad afín es cuasi-proyectiva.<ref>Hartshorne, Exercise I.2.9, p.12</ref> Obsérvese también que el complemento de un conjunto algebraico en una variedad afín es una variedad cuasi-proyectiva; en el contexto de las variedades afines, tal variedad cuasi-proyectiva no suele llamarse variedad sino [[conjunto construible (topología)|conjunto construible]].

===Variedades abstractas===
En la geometría algebraica clásica, todas las variedades eran por definición [[variedad cuasiproyectiva|variedades cuasiproyectivas]], lo que significa que eran subvariedades abiertas de subvariedades cerradas del [[espacio proyectivo]]. Por ejemplo, en el capítulo 1 de Hartshorne, una ''variedad'' sobre un campo algebraicamente cerrado se define como una [[variedad cuasiproyectiva]],{{r|Hartshorne|page1=15}} pero a partir del capítulo 2, el término '''variedad''' (también llamado '''variedad abstracta''') se refiere a un objeto más general, que localmente es una variedad cuasiproyectiva, pero cuando se ve como un todo no es necesariamente cuasiproyectiva; es decir, podría no tener una incrustación en el espacio proyectivo. Es decir, podría no tener una incrustación en [[espacio proyectivo]].{{r|Hartshorne|page1=105}} Así, clásicamente, la definición de una variedad algebraica requería una incrustación en el espacio proyectivo, y esta incrustación se utilizaba para definir la topología de la variedad y las [[funciones regulares]] de la variedad. La desventaja de esta definición es que no todas las variedades tienen incrustaciones naturales en el espacio proyectivo. Por ejemplo, bajo esta definición, el producto {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} no es una variedad hasta que se incrusta en el espacio proyectivo; esto se hace generalmente por la [[incrustación de Segre]]. Sin embargo, cualquier variedad que admita una incrustación en el espacio proyectivo admite muchas otras al componer la incrustación con la [[superficie de Veronese]]. En consecuencia, muchas nociones que deberían ser intrínsecas, como el concepto de función regular, no lo son obviamente.

El primer intento con éxito de definir una variedad algebraica de forma abstracta, sin una incrustación, fue realizado por [[André Weil]]. En su ''[[Fundamentos de Geometría Algebraica]]'', Weil definió una variedad algebraica abstracta usando [[Valoración (matemáticas)|valoraciones]]. [[Claude Chevalley]] hizo una definición de [[Esquema (matemáticas)|esquema]], que servía para un propósito similar, pero era más general. Sin embargo, la definición de esquema de [[Alexander Grothendieck]] es aún más general y ha recibido la mayor aceptación. En el lenguaje de Grothendieck, una variedad algebraica abstracta suele definirse como una [[Glosario de teoría de esquemas#integral|integral]], de esquema [[Glosario de teoría de esquemas#separado|separado]] y de [[Morfismo finito#Morfismos de tipo finito|tipo finito]] sobre un campo algebraicamente cerrado,{{r|Hartshorne|pp=104– 105}} aunque algunos autores abandonan la irreducibilidad o la condición de reducción o de separatividad o permiten que el campo subyacente no sea algebraicamente cerrado.<ref group=note>Liu, Qing. ''Algebraic Geometry and Arithmetic Curves'', p. 55 Definition 2.3.47, and p. 88 Example 3.2.3</ref> Las variedades algebraicas clásicas son la integral cuasiproyectiva separada de esquemas de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado.

====Existencia de variedades algebraicas abstractas no-cuasiproyectivas====
Uno de los primeros ejemplos de una variedades algebraicas no-cuasiproyectiva fue provisto formulado por Nagata.<ref name=Nagata56>
{{cite journal| doi=10.1215/kjm/1250777138| last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=Masayoshi Nagata | title=On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties | mr=0088035 | year=1956 | journal=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics | volume=30 | pages=71–82| doi-access= }}
</ref> El ejemplo de Nagat no era [[variedad completa|completo]] (el análogo de compacticidad), pero poco después Nagata encontró una superficie algebraica que era completa y no-proyectiva.<ref name=Nagata57>
{{cite journal |doi=10.1215/kjm/1250777007 | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=Masayoshi Nagata | title=On the imbeddings of abstract surfaces in projective varieties | mr=0094358 | year=1957 | journal=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics | volume=30 | issue=3 | pages=231–235| s2cid=118328992 | doi-access= }}
</ref><ref name="Hartshorne">
{{cite book
 | last = Hartshorne
 | first = Robin
 | author-link = Robin Hartshorne
 | year = 1977
 | title = Algebraic Geometry
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | isbn = 0-387-90244-9
}}
</ref> Desde entonces se han encontrado otros ejemplos; por ejemplo, es sencillo construir una [[variedad tórica]] que no es cuasi-proyectiva pero sí completa.<ref>En la página  65 de {{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Introduction to toric varieties | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-00049-7 | year=1993}}, una nota describe una variedad tórica completa que tiene un paquete de línea no trivial; por lo que en particular, no posee paquete de línea amplio.</ref>

===Variedad afín===

====Ejemplo 1====
Sea {{math|''k'' {{=}} '''C'''}}, y '''A'''<sup>2</sup> sea el [[espacio afín]] bidimensional sobre '''C'''. Los polinomios en el anillo '''C'''[''x'', ''y''] pueden verse como funciones de valor complejo en '''A'''<sup>2</sup> evaluando en los puntos de '''A'''<sup>2</sup>. Sea el subconjunto ''S'' de '''C'''[''x'', ''y''] un único elemento {{math|&thinsp;''f''&thinsp; (''x'', ''y'')}}:

:<math>f(x, y) = x+y-1.</math>

El lugar cero de {{math|&thinsp;''f''&thinsp; (''x'', ''y'')}} es el conjunto de puntos de '''A'''<sup>2</sup> en los que esta función desaparece: es el conjunto de todos los pares de números complejos (''x'', ''y'') tales que ''y'' = 1 - ''x''. Esto se llama una [[línea (geometría)|línea]] en el plano afín. En la '''topología clásica''', procedente de la topología sobre los números complejos, una recta compleja es un colector real de dimensión dos. Se trata del conjunto {{math|''Z''(&thinsp;''f''&thinsp;)}}:

:<math>Z(f) = \{ (x,1-x) \in \mathbf{C}^2 \}.</math>

Así, el subconjunto {{math|''V'' {{=}} ''Z''(&thinsp;''f''&thinsp;)}} de '''A'''<sup>2</sup> es un [[#Variedades afines|conjunto algebraico]]. El conjunto ''V'' no es vacío. Es irreducible, ya que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. Por lo tanto, es una variedad algebraica afín.
====Ejemplo 2====
Sea {{math|''k'' {{=}} '''C'''}}, y '''A'''<sup>2</sup> sea el espacio afín bidimensional sobre '''C'''. Los polinomios en el anillo '''C'''[''x'', ''y''] pueden verse como funciones de valor complejo en '''A'''<sup>2</sup> evaluando en los puntos de '''A'''<sup>2</sup>. Sea el subconjunto ''S'' de '''C'''[''x'', ''y''] el que contenga un único elemento ''g''(''x'', ''y''):

:<math>g(x, y) = x^2 + y^2 - 1.</math>

El lóbulo cero de ''g''(''x'', ''y'') es el conjunto de puntos de '''A'''<sup>2</sup> en los que esta función desaparece, es decir, el conjunto de puntos (''x'', ''y'') tales que ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1. Como ''g''(''x'', ''y'') es un polinomio [[absolutamente irreducible]], se trata de una variedad algebraica. El conjunto de sus puntos reales (es decir, los puntos para los que ''x'' e ''y'' son números reales), se conoce como el [[círculo unitario]]; este nombre también se da a menudo a toda la variedad.
====Ejemplo 3====
El siguiente ejemplo no es ni una [[hipersuperficie]], ni un [[espacio vectorial|espacio lineal]], ni un único punto. Sea '''A''''<sup>3</sup> el espacio afín tridimensional sobre '''C''''. El conjunto de puntos (''x'', ''x'' <sup>2</sup>, ''x'' <sup>3</sup>) para ''x'' en '''C''' es una variedad algebraica, y más precisamente una curva algebraica que no está contenida en ningún plano.<ref group="note">Harris, p.9 ; que es irreducible se afirma como ejercicio en Hartshorne p.7</ref> Es la [[cúbica alabeada]] que se muestra en la figura anterior. Se puede definir mediante las ecuaciones
:<math>\begin{align}
y-x^2&=0\\
z-x^3&=0
\end{align}</math>
La irreducibilidad de este conjunto algebraico necesita una demostración. Una aproximación en este caso es comprobar que la proyección (''x'', ''y'', ''z'') → (''x'', ''y'') es [[función inyectiva|inyectiva]] sobre el conjunto de las soluciones y que su imagen es una curva plana irreducible.

Para ejemplos más difíciles, siempre se puede dar una prueba similar, pero puede implicar un cálculo difícil: primero una [[base de Gröbner]] para calcular la dimensión, seguida de un cambio lineal aleatorio de variables (no siempre necesario); luego una [[base de Gröbner]] para otro [[orden monomial]] para calcular la proyección y probar que es genéricamente inyectiva y que su imagen es una [[hipersuperficie]], y finalmente una [[Factorización de polinomios| factorización polinómica]] para probar la irreductibilidad de la imagen.

== Notas ==
<references group="note"/>
== Referencias ==
{{Listaref}}

==Bibliografía==
*{{cita libro
 | autor = Robin Hartshorne
 | año = 1977
 | título = Algebraic Geometry
 | url = https://archive.org/details/algebraicgeometr0052hart
 | editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 0-387-90244-9
}} 
*{{cita libro
 | autor = David Cox
 | coautores = John Little, Don O'Shea
 | año = 1997
 | título = Ideals, Varieties, and Algorithms
 | edición = second edition
 | editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 0-387-94680-2
}}
*{{cita libro
 | autor = David Eisenbud
 | año = 1999
 | título = Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry
 | editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 0-387-94269-6
}} 
*{{cita libro
 | autor = David Dummit
 | autor2 = Richard Foote
 | año = 2003
 | título = Abstract Algebra
 | edición = third edition
 | editorial = Wiley
 | id = ISBN 0-471-43334-9
}}
*{{cita web
|url = http://mathworld.wolfram.com/AffineVariety.html
|título = Affine variety
|fechaacceso = 30 de junio de 2008

|autor = Rowland, Todd y Weisstein, Eric W.
|año = 2005
}}


{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Variedades algebraicas| ]]