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Ecuación en Diferencias Finitas es una página que estoy creando.

Una ecuación en diferencias finitas de orden k es de la forma

$y_{n+k}+a_{k-1}y_{n+k-1}+...+a_{1}y_{n+1}+a_{0}y_{n}=f(n)$

donde $n\in \mathbb {N} ,\ n\geq 0$ y $f(n)$ es el término independiente. Si el término independiente es cero, $f(n)=0,\forall n\in \mathbb {N}$, la ecuación se dice que es homogénea. En caso contrario, se dice que es completa o no homogénea.

Una solución de la ecuación es una sucesión $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ que verifica la ecuación.

Polinomio característico

El polinomio característico de una EDF de orden k es el polinomio

$p(r)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}r^{i}$

Este polinomio nos permite conocer las soluciones de la EDF.

Soluciones de una EDF de primer orden homogénea

Una ecuación en diferencias finitas de primer orden y homogénea es de la forma

$y_{n+1}+a_{0}y_{n}=0,\ n\geq 0$

La siguiente sucesión es una solución de la EDFH de primer orden:

$x_{n}=ka_{0}^{n}(-1)^{n},\ n\in \mathbb {N}$

siendo $k$ cualquier constante.

Demostración

Sustituimos la solución en la EDF:

$y_{n+1}+a_{0}y_{n}=k(-1)^{n+1}a_{0}^{n+1}+a_{0}k(-1)^{n}a_{0}^{n}=$

$=k((-1)^{n+1}a_{0}^{n+1}+(-1)^{n}a_{0}^{n+1})=$

$=ka_{0}^{n+1}(-1)^{n}(-1+1)=0$

Soluciones de una EDF de segundo orden homogénea

Una ecuación en diferencias finitas de segundo orden y homogénea es de la forma

$y_{n+2}+a_{1}y_{n+1}+a_{o}y_{n}=0,\ n\geq 0$

Su polinomio característico es

$p(r)=r^{2}+a_{1}r+a_{0}$

El tipo de soluciones de la EDF depende del tipo de soluciones del polinomio característico:

Dos raíces reales distintas

Si el polinomio característico $p(r)$ de la EDF tiene dos soluciones reales y distintas, $r_{1}$ y $r_{2}$, entonces, la sucesión

$x_{n}=k_{1}r_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N}$

y la sucesión

$y_{n}=k_{2}r_{2}^{n},\ n\in \mathbb {N}$

son soluciones de la EDF homogénea de segundo orden $\forall k_{1},k_{2}$.

Como consecuencia, la sucesión suma

$z_{n}=x_{n}+y_{n},\ n\in \mathbb {N}$

también es una solución de la EDF. Es la solución general.

Una raíz real de multiplicidad doble

Si el polinomio característico de la EDF, $p(r)$ tiene una solución real de multiplicidad doble, $r_{1}$, entonces, la sucesión

$x_{n}=k_{1}r_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N}$

y la sucesión

$y_{n}=k_{2}nr_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N}$

son soluciones de la EDF $\forall k_{1},k_{2}$ y, por tanto, su suma

$z_{n}=k_{1}r_{1}^{n}+k_{2}nr_{1}^{n},\ n\in \mathbb {N}$

también es solución. Esta última es la solución general de la EDF.

Dos raíces complejas

Si el polinomio característico de la EDF, $p(r)$ tiene dos soluciones complejas conjugadas, $r_{1},r_{2}={\overline {r_{1}}}\in \mathbb {C}$, entonces, la sucesión

$x_{n}=k_{1}r^{n}cos(n\theta )+k_{2}r^{n}sin(n\theta ),\ n\in \mathbb {N}$

donde $r=|r_{1}|,\ \theta =arg(r_{1})$ es una solución de la EDF $\forall k_{1},k_{2}$.

Soluciones de una EDF no homogénea

Si el término independiente de la EDF es distinto de cero, es decir, $f(n)$ no es la función constante cero, la sucesión $\{x_{n}^{h}\}_{n\in \mathbb {N} }$ es una solución de la EDF homogénea asociada y la sucesión $\{x_{n}^{p}\}_{n\in \mathbb {N} }$ es una solución particular de la EDF no homogénea, entonces, la sucesión

$x_{n}=x_{n}^{h}+x_{n}^{p},\ n\in \mathbb {N}$

es una solución de la EDF no homogénea.

La solución general de la EDF no homogénea es

$z_{n}=k_{1}x_{n}^{h}+k_{2}x_{n}^{p},\ n\in \mathbb {N} ,\ \forall k_{1},k_{2}$

Soluciones particulares de EDF no homogéneas

Lista de soluciones particulares, $x_{n}^{p}$, según el término independiente $f(n)$ de la EDF:

• $f(n)=a^{n}$ siendo $a$ constante, entonces $x_{n}^{p}=ka^{n}$ para cualquier constante $k$.

• $f(n)=n^{r}a^{n}$ siendo $a$ y $r$ constantes, entonces $x_{n}^{p}=p_{r}(n)a^{n}$ donde $p_{r}(n)$ es un polinomio de grado $r$.

• $f(n)=(cos(n\theta ),sin(n\theta )$, entonces $x_{n}^{p}=k_{1}cos(n\theta )+k_{2}sin(n\theta )$.

• $f(n)=(a^{n}cos(n\theta ),a^{n}sin(n\theta )$, entonces $x_{n}^{p}=a^{n}k_{1}cos(n\theta )+a^{n}k_{2}sin(n\theta )$.

• $f(n)=(a^{n}n^{r}cos(n\theta ),a^{n}n^{r}sin(n\theta )$, entonces $x_{n}^{p}=a^{n}p_{r}(n)k_{1}cos(n\theta )+a^{n}p_{r}(n)k_{2}sin(n\theta )$.

Enlaces externos

• Resolución de EDF de primer y segundo orden

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