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/Paradoja de Bertrand

La paradoja de Bertrand es un problema dentro de la interpretación clásica de la teoría de la probabilidad. Joseph Bertrand introdujo en su obra Calcul des probabilités (1888) como un ejemplo para demostrar que las probabilidades pueden no estar bien definido si el mecanismo o método que produce la variable aleatoria no está claramente definido.

Formulación del Problema

Considere un triángulo equilátero inscrito en un circulo. Suponga una cuerda del círculo es escogida aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda es mayor (en magnitud) que un lado del triángulo?

Bertrand da tres argumentos, aparentemente validos, con diferentes resultados.

Puntos finales aleatorios

Cuerdas aleatorias, método 1 de selección ; rojo = más largo que lado del triángulo, azul=más corto

Se escogen dos puntps aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la pobailidad se imagina el triangulo rotado de forma tal que un vertice coincida con uno de los puntos. Obseve que si el otro punto final de la cuerda esta en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio.

Radio Aleatorio

Cuerdas aleatorias, método 2 de selección

Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda atravez de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilida se imagina al traingulo rotada de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes del putno que intersecta el lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes,por lo tanto la probabilidad de que la cuerdasemás larga que un lado del trianulo inscrito es un medio.