Transformada de Abel

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En matemáticas, la transformada de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es una transformada integral frecuentemente usada en el análisis de funciones de simetría esférica o axial. La transformada de Abel de una función f(r) está dada por:

Si f(r) tiende a cero más rápidamente que 1/r, la transformada inversa de Abel viene dada por

En análisis de imágenes, se usa una transformada de Abel para proyectar una función de emisión ópticamente delgada y de simetría axial sobre un plano. La transformada inversa se usa para calcular la función de emisión, dada una cierta proyección (ej. un escaneo o una fotografía) de esta función.

Recientemente la transformada inversa de Abel (y sus variantes) se ha convertido en la piedra angular del análisis de datos de imágenes tipo fotón/fragmento/ion (photofragment-ion imaging) y fotón/electrón (photoelectron imaging). Entre las más notables extensiones recientes de la transformada inversa de Abel están los métodos Onion Peeling y BAsis Set Expansion (BASEX) para análisis de imágenes tipo fotón/electrón y fotón/ion.

Interpretación geométrica[editar]

Una interpretación geométrica de la transformada de Abel en dos dimensiones. Un observador (I) mira a lo largo de la línea paralela al eje x a una distancia y sobre el origen. Lo que el observador mira es la proyección (i.e. la integral) de la función de simetría circular f(r) a lo largo de la línea de visión. La función f(r) está representada en gris en ésta figura. Se supone que el observador está a distancia infinita del origen de manera que los límites de integración son ±∞.

En dos dimensiones, la transformada de Abel F(y) puede ser interpretada como la función de simetría circular f(r) a lo largo de un conjunto de líneas de visión, las cuales están a una distancia y desde el origen. En referencia a la figura de la derecha, el observador (I) verá:

donde f(r) es la función de simetría circular representada en gris en la figura. Se asume que el observador está en x = ∞ de manera que los límites de integración son ±∞ y todas las líneas de visión son paralelas al eje x. Notando que el radio r se relaciona con x y con y via r2 = x2 + y2, se sigue que:

El intervalo de integración en r no pasa por cero, y ya que ambos f(r) y la expresión de arriba para dx son funciones pares, podemos escribir:

Substituyendo la expresión paradx en términos de ry reescribiendo los límites de integración acordemente, resulta la transformada de Abel.

La transformada de Abel puede extenderse a dimensiones más altas. La extensión a tres dimensiones es de particular interés. Si tenemos una función de simetría axial f,z) donde ρ2 = x2 + y2 es el radio cilíndrico, entonces podríamos querer saber la proyección de esa función sobre el plano paralelo al eje z. Sin pérdida de generalidad, podemos escoger el plano yz de manera que:

la cual es justo la transformada de Abel de f,z) en ρ y y.

La simetría esférica es un tipo particular de simetría axial. En este caso, tenemos la función f(r) donde r2 = x2 + y2 + z2. La proyección sobre, digamos el plano yz, será circularmente simétrica y expresable como F(s) donde s2 = y2 + z2. Efectuando la integración, tenemos:

lo cual es también la transformada de Abel de f(r) en r y s.

Verificación de la transformada inversa de Abel[editar]

Asumiendo que f es continua y diferenciable en todo punto y que f, f' tienden a cero más rápido que 1/r, podemos hacer y . Integrando por partes se tendrá:

Diferenciando formalmente,

Ahora, substituyendo esto en la fórmula de la transformada inversa de Abel:

Por el Teorema de Fubini, la última integral es igual a:

Relación con otras transformadas integrales[editar]

Relación con las transformadas de Fourier y Hankel[editar]

La transformada de Abel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. Por ejemplo, en dos dimensiones, si definimos A como el operador transformada de Abel, F como el operador transformada de Fourier y H como el operador transformada de Hankel de orden cero, entonces, un caso especial del Teorema de proyección-rebanada para funciones de simetría circular establece que:

En otras palabras, aplicando la transformada de Abel a una función 1-dimensional y luego aplicando la transformada de Fourier resulta ser lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto puede extenderse a más dimensiones.

Relación con la transformada de Radon[editar]

La tranformada de Abel es una proyección de f(r) a lo largo de un eje particular. La transformada de Radon 2-dimensional nos da la transformada de Abel no sólo como función de la distancia a lo largo del eje de visión, sino también como función del ángulo de éste eje.

Referencias[editar]

  • Bracewell, R. (1965). The Fourier Transform and its Applications. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4.