Teorema de la intersección de Cantor

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El teorema de la intersección de Cantor refiere a dos teoremas estrechamente relacionados topología general y análisis real, nombrado en honor a Georg Cantor, en relación a intersecciones de secuencias anidadas de conjuntos compactos no vacíos.

Enunciación topológica[editar]

Teorema. Sea S un espacio topológico. Una secuencia anidada decreciente de subconjuntos no vacíos cerrados y compactos de S tiene una intersección no vacía. En otras palabras, suponiendo que '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' es una secuencia de subconjuntos no vacíos compactos y cerrados de S que satisface

'"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'

resulta que

'"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'

Nota: Podemos abandonar la condición de cerrado en situaciones donde cada subconjunto compacto de S es cerrado; por ejemplo, cuando S es un espacio de Hausdorff.

Demostración. Supóngase por contradicción que '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'. Para cada k, sea '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'. Como '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' y '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"', se tiene que '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'. Nótese que como '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' son cerradas relativamente a S y, por lo tanto, también cerradas relativamente a '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"', la '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"', su conjunto complementa '"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"', son abiertos relativamente a '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"'.

Como '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"' es compacto, '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"' is an open cover (en '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"') de '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"', se puede extraer una tapa finita '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'. Sea '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'. Entonces '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' ya que '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"', por la hipótesis de anidamiento de la colección '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"'. Consecuentemente, '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"', pero entonces '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"', contradiciéndose.

Referencias[editar]