Teorema de Seifert-van Kampen

En topología, el teorema de Seifert-van Kampen (a veces llamado teorema de van Kampen), es un importante resultado de topología algebraica que permite expresar el grupo fundamental de un espacio topológico $X$ a partir de los grupos fundamentales de dos abiertos que recubren $X$. La fuerza de este teorema reside en que permite obtener el grupo fundamental de un espacio a partir de espacios más sencillos.

El teorema de Seifert-van Kampen tiene, sin embargo, limitaciones: por sí mismo no permite calcular el grupo fundamental de la circunferencia $\mathbb {S} ^{1}$, que es un resultado básico de la topología algebraica.

Enunciado

Existen distintas fomulaciones equivalentes del teorema de Seifert-van Kampen, por lo que se muestran aquí dos, la primera inspirada en la formulación del teorema en el libro Algebraic Topology de Allen Hatcher,​ y la segunda inspirada en la formulación del teorema en la enciclopedia nLab.​ La primera será en general más útil pues permite escribir el grupo fundamental del espacio como un cociente de grupos.

Teorema de Seifert-van Kampen mediante grupo cociente

Sea $X$ un espacio topológico y sean $A$ y $B$ dos abiertos arcoconexos de $X$ tales que $A\cup B=X$ y $A\cap B$ es también arcoconexa. Sean $i_{A}:A\cap B\hookrightarrow A$ y $i_{B}:A\cap B\hookrightarrow B$ las inclusiones canónicas de la intersección en los abiertos, y sea el punto base $x_{0}\in A\cap B$. Se tiene entonces que $\pi _{1}(X,x_{0})\cong ^{\pi _{1}(A,x_{0})*\pi _{1}(B,x_{0})}/_{\langle \pi _{1}(i_{A})(\omega )\pi _{1}(i_{B})(\omega )^{-1}\ |\ \omega \in \pi _{1}(A\cap B,x_{0})\rangle }$

En esta formulación del teorema se usa la notación $\pi _{1}(f)$ para hacer referencia al morfismo de grupos indicido por $f$. Además, por ser $A$, $B$ y $A\cap B$ arcoconexos, podríamos omitir la notación de punto base, pues los grupos fundamentales no dependerán de él.

Teorema de Seifert-van Kampen mediante teoría de categorías

Sea $X$ un espacio topológico recubierto por dos abiertos $A$ y $B$ tales que $A\cap B$ es arcoconexa. Entonces, para todo punto base $x_{0}\in A\cap B$, el diagrama

${\begin{array}{ccc}\pi _{1}(A\cap B,x_{0})&\longrightarrow &\pi _{1}(A,x_{0})\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,x_{0})&\longrightarrow &\pi _{1}(X,x_{0})\end{array}}$

es un pushout cuadrado en la categoría $\mathbf {Grp}$.

Generalizaciones

Existe una generalización, descrita por Allen Hatcher que usa una familia de abiertos, en vez de sólo dos. Debido a que los abiertos considerados en todo momento son arcoconexos por hipótesis, se omitirá el punto base de la notación de los grupos fundamentales.

Sea $X$ un espacio topológico y $x_{0}$ un punto de $X$. Sea $\{A_{n}\}_{n\in I}$ un recubrimiento por abiertos de $X$ (esto es que $X=\bigcup _{n\in I}A_{n}$ con cada $A_{n}$ abierto de $X$), tal que:

1. $A_{n}$ es arcoconexo para todo $n\in I$,
2. $A_{n}\cap A_{m}$ es arcoconexo para todo $n,m\in I$,
3. $x_{0}\in A_{n}$ para todo $n\in I$;

entonces el morfismo de grupos$\Phi :{\underset {n\in I}{*}}\pi _{1}(A_{n})\to \pi _{1}(X)$ inducido por las inclusiones $A_{n}\hookrightarrow X$, es sobreyectivo.

Más aún, si además $A_{n}\cap A_{m}\cap A_{l}$ es arcoconexa para todo $n,m,l\in I$, resulta que $\ker(\Phi )$ es el subgrupo normal generado por todos los elementos de la forma $\pi _{1}(i_{n})(\omega )\pi _{1}(i_{m})(\omega )^{-1}$, con $\omega \in \pi _{1}(A_{n}\cap A_{m})$. Se tiene por tanto que $\Phi$ induce un isomorfismo entre $^{{\underset {n\in I}{*}}\pi _{1}(A_{n})}/_{\ker(\Phi )}$ y $\pi _{1}(X)$.

Ejemplos

La suma puntual de espacios

Sean $X$ e $Y$ dos espacios topológicos, y sean $x_{0}\in X$ e $y_{0}\in Y$ puntos. Consideremos además su espacio suma putual $(X\vee Y,p)$, donde $\{p\}$ es el resultado de la identificación de $x_{0}$ e $y_{0}$. Si $X$ e $Y$ son arcoconexos, y $x_{0}$ admite un entorno abierto contráctil $U\subseteq X$, e $y_{0}$ admite un entorno abierto contráctil $V\subseteq Y$, podemos aplicar entonces el teorema de Seifert-van Kampen usando los abiertos $X\vee V$ e $Y\vee U$, que nos dice que, como la intersección es contráctil, $\pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x_{0})*\pi _{1}(Y,y_{0})$.

La esfera $\mathbb {S} ^{n}$ (con $n\geq 2$)

Los casos en los que n es 0 o 1 están excuidos, ya que la $\mathbb {S} ^{0}$ no es conexa y por tanto el teorema no aplica; y la $\mathbb {S} ^{1}$ es un caso particular en el que el teorema de Seifert-van Kampen no puede usarse para hallar su grupo fundamental.

En el resto de casos sí puede usarse. Para $n\geq 2$, sean $\{N\}$ y $\{S\}$ los polos norte y sur de la esfera $\mathbb {S} ^{n}$. Sean $U=\mathbb {S} ^{n}-\{N\}$ y $V=\mathbb {S} ^{n}-\{P\}$ abiertos arcoconexos de $\mathbb {S} ^{n}$. Como $n\geq 2$, la intersección $U\cap V$ es arcoconexa, por lo que podemos aplicar el teorema de Seifert-van Kampen. Como $U\cong V\cong D^{n}\simeq *$, se tiene que $\pi _{1}(U)\cong \pi _{1}(V)\cong \{e\}$, por lo que $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{n})\cong \{e\}*\{e\}\cong \{e\}$ para $n\geq 2$, donde $\{e\}$ denota al grupo trivial.

Este resultado nos dice que todas las n-esferas son simplemente conexas excepto la $\mathbb {S} ^{0}$ y la $\mathbb {S} ^{1}$. Según sus componentes arcoconexas, el grupo fundamental de la $\mathbb {S} ^{0}$ es, trivialmente, $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{0},\{(-1,0)\})\cong \pi _{1}(\mathbb {S} ^{0},\{(1,0)\})\cong \{e\}$, que no hace a la $\mathbb {S} ^{0}$ simplemente conexa, por no ser arcoconexa. El grupo fundamental de $\mathbb {S} ^{1}$ es $\mathbb {Z}$; resultado más complicado de probar.

Véase también

• Grupo fundamental
• Grupoide
• Topología algebraica

Referencias

Bibliografía

• Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids).

Enlaces externos

• Van Kampen's theorem result en PlanetMath.

• Datos: Q372037
• Multimedia: Seifert–Van Kampen theorem / Q372037