Grupoide

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Un grupoide, en matemática, especialmente en teoría de las categorías y en homotopía, es un concepto que, simultáneamente, generaliza grupos, relaciones de equivalencia en conjuntos, y acciones de grupos en conjuntos.
Frecuentemente ,son usados para capturar información acerca de objetos geométricos tales como variedades.

El término "grupoide" también es usado para un magma: un conjunto con cualquier tipo de operación binaria en él. No usaremos ese término para tal concepto en esta enciclopedia.

Definiciones[editar]

Desde un punto de vista de categorías, un grupoide es simplemente una de ellas en la que todo morfismo es un isomorfismo (o sea, aquel es inversible).[1]

Alternativamente es posible dar la siguiente definición equivalente: un grupoide consiste de

  • Dos conjuntos , el grupoide y , la base.
  • funciones sobreyectivas. es llamada proyección origen o fuente y es llamada la proyección final o destino.
  • Una aplicación , , la aplicación de inclusión o identidad.
  • Si , entonces hay una multiplicación parcial que satisface las siguientes condiciones
  • , , para todo .
  • Asociatividad.
  • , para todo .
  • , para todo .
  • Para todo , existe , tal que y .

Ejemplos[editar]

  • Los grupos son los grupoides con base trivial.
  • Sea conjunto, grupo, la proyección a la tercera coordenada, la proyección a la primera coordenada, dada por . La multiplicación parcial e inversa dadas por , , respectivamente. Esto resulta ser un grupoide que se denota y es llamado el grupoide trivial sobre con grupo .
  • En topología, el grupoide fundamental de un espacio topológico es el conjunto de clases de homotopía de curvas con la operación yuxtaponer clases (cuando es posible hacerlo). Se lo representa con la expresión .
Las clases de homotopía son las clases de equivalencia determinadas por la relación de ser homotópicas, es decir, dos curvas tal que y ; son homotópicas si existe una aplicación continua tal que
,
, .
En este caso la base es el espacio , las aplicaciones origen y final son el origen y el final de cada curva. La aplicación identidad es , es decir la clase de equivalencia de la curva constante en y la inversa es recorrer la curva en sentido contrario.
Es claro que el grupoide fundamental incluye a todos los grupos fundamentales y los integra en una sola estructura, que a la postre resulta ser más natural para el estudio de la homotopía.
  • Si es un conjunto y es una relación de equivalencia en , entonces podemos formar un grupoide que representa esta relación de equivalencia como sigue: la base es , y para cualesquiera dos elementos en , hay un único morfismo desde hasta si y sólo si .

Grupoides de Lie y algebroides de Lie[editar]

Al estudiar objetos geométricos, los grupoides que se presentan llevan a menudo alguna estructura diferenciable, convirtiéndose en grupoides de Lie. Éstos se pueden estudiar en términos de los algebroides de Lie, en analogía a la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Paterson, Alan L.T. (1999). Alan L.T. Paterson, ed. Groupoids, Inverse Semigroups, and Their Operator Algebras (en inglés). Berlín: Springer Velag. ISBN 0817640517. 

Enlaces externos[editar]

  • Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, Groupoids.ps o weinstein.pdf
  • Parte VI de Geometric Models for Noncommutative Algebras, por A. Cannas da Silva y A. Weinstein archivo PDF.