Teorema de Jacobson-Bourbaki

En álgebra, el teorema de Jacobson-Bourbaki es un teorema utilizado para extender la teoría de Galois a extensiones de campos que no necesitan ser separables. Fue presentado por Nathan jacobson (para campos conmutativos y extendido a campos no conmutativos por Jacobson (1947) y Henri Cartan (1947) quien atribuyó el resultado al trabajo inédito de Nicolas Bourbaki. La extensión de la teoría de Galois a extensiones normales se llama correspondencia de Jacobson-Bourbaki, que reemplaza la correspondencia entre algunos subcampos de un campo y algunos subgrupos de un grupo de Galois por una correspondencia entre algunos anillos de subdivisión de un anillo de división y algunas subálgebras de un álgebra asociativa.

El teorema implica tanto la correspondencia de Galois habitual para subcampos de una extensión de Galois como la correspondencia de Galois de Jacobson para subcampos de una extensión puramente inseparable de exponente como máximo 1.

Declaración

Supongamos que L es un anillo de división. El teorema de Jacobson-Bourbaki establece que existe una correspondencia natural 1:1 entre:

• Anillos de división K en L de índice finito n (en otras palabras, L es un espacio vectorial izquierdo de dimensión finita sobre K).
• K -álgebras unitarias de dimensión finita n (como K -espacios vectoriales) contenidas en el anillo de endomorfismos del grupo aditivo de K.

El anillo de subdivisión y la subálgebra correspondiente son conmutantes entre sí.

Jacobson (1956, Chapter 7.2) dio una extensión a los anillos de subdivisión que podrían tener un índice infinito, que corresponden a subálgebras cerradas en la topología finita.

Referencias

• Cartan, Henri (1947), «Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non nécessairement commutatifs», Comptes rendus de l'Académie des Sciences 224: 249-251 .
• Cartan, Henri (1947), «Théorie de Galois pour les corps non commutatifs», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3 64: 59-77, ISSN 0012-9593, doi:10.24033/asens.942 .
• Jacobson, Nathan (1944), «Galois theory of purely inseparable fields of exponent one», American Journal of Mathematics 66 (4): 645-648, ISSN 0002-9327, doi:10.2307/2371772 .
• Jacobson, Nathan (1947), «A note on division rings», American Journal of Mathematics 69 (1): 27-36, ISSN 0002-9327, doi:10.2307/2371651 .
• Jacobson, Nathan (1956), Structure of rings, American Mathematical Society, Colloquium Publications 37, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1037-8 .
• Jacobson, Nathan (1964), Lectures in abstract algebra. Vol III: Theory of fields and Galois theory, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London-New York, ISBN 978-0-387-90168-8 .