Teorema de Cauchy-Hadamard

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En matemática, el Teorema de Cauchy-Hadamard, llamado así por los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard, estableciendo el radio de convergencia de una serie de potencias que aproxima una función en torno de un punto a.

Historia[editar]

Fue publicado por primera vez en 1821 por Augustin Louis Cauchy,[1] pero pasó relativamente desapercibido hasta que Jacques Hadamard lo redescubrió.[2] La primera publicación de Hadamard sobre este resultado fue realizada en 1888;[3] También fue incluida como parte de su tesis doctoral de 1892.[4]

Enunciado[editar]

Considérese la serie de potencias formal de una variable compleja z de la forma

donde

Entonces el radio de convergencia de ƒ en el punto a estará dado por

donde lim sup denota el límite superior, el límite cuando n tiende a infinito del supremo de una sucesión de valores después de la n-ésima posición. Si la secuencia de valores no está acotada, de manera que lim sup sea ∞, entonces la serie de potencias no convergerá cerca de a, mientras que si el lim sup es 0 entonces el radio de convergencia será ∞, lo cual significa que la serie de potencias converge en todo el plano complejo.

Demostración[editar]

[5] Sin pérdida de generalidad asumiremos que . En primer lugar vamos a demostrar que la serie de potencias converge para , y después que ésta diverge para .

En primer lugar suponemos que . Sea distinto de cero o infinito. Para todo , existe sólo un número finito de tales que . Ahora, , así que la serie converge si . Esto demuestra la primera parte.

Sea ahora . Tomando , vemos que la serie no puede converger dado que su n-ésimo término no tiende a 0.

Referencias[editar]

  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
  2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass (en inglés), Springer-Verlag, pp. 116-117, ISBN 9780387963020 . Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», C. R. Acad. Sci. Paris 106: 259-262 .
  4. Hadamard, J. (1892), «Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor», Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4e Série VIII . Also in Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.
  5. Lang, Serge (2002), Complex Analyses: Fourth Edition, Springer, pp. 55-56, ISBN 0387985921 Graduate Texts in Mathematics

Enlaces externos[editar]