Teoría de la información cuántica

Las redes ópticas utilizan láseres para separar átomos de rubidio (rojos) y utilizarlos como bits de información en procesadores cuánticos de átomos neutros, dispositivos prototipo que los diseñadores están tratando de convertir en ordenadores cuánticos completos.

La teoría de la información cuántica es una disciplina que incorpora técnicas de las matemáticas, la física y las ciencias de la computación y que se ocupa, por un lado, de describir qué es exactamente la información cuántica (y que la diferencia de la clásica)​​​ y por otro, de su transmisión. Sobre esto último, es de especial interés idear protocolos que protejan la información contra ataques externos y técnicas que corrijan los errores que fenómenos como el ruido y la decoherencia puedan haber introducido.

La información cuántica puede ser manipulada mediante técnicas de procesamiento de información cuántica. La información cuántica se refiere tanto a la definición técnica en términos de entropía de Von Neumann como al término computacional general.

Características

Es un campo interdisciplinario que involucra mecánica cuántica, ciencias de la computación, teoría de la información, filosofía y criptografía, entre otros campos.​​​ Su estudio también es relevante para disciplinas como la ciencia cognitiva, la psicología y la neurociencia.​​​​ Su enfoque principal está en extraer información de la materia a escala microscópica. La observación en la ciencia es una de las formas más importantes de adquirir información, y la medición es necesaria para cuantificar la observación, lo que la hace crucial para el método científico. En la mecánica cuántica, debido al principio de incertidumbre, los observables no conmutativos no pueden medirse con precisión simultáneamente, ya que un autoestado en una base no es un autoestado en la otra base. Según el vínculo autoestado-autovalor, un observable está bien definido (definido) cuando el estado del sistema es un autoestado del observable.​ Dado que dos observables no conmutativos no están definidos simultáneamente, un estado cuántico nunca puede contener información definitiva sobre ambos observables no conmutativos.​

Los datos pueden codificarse en el estado cuántico de un sistema cuántico como información cuántica.​ Mientras que la mecánica cuántica se ocupa de examinar las propiedades de la materia a nivel microscópico,​​ la ciencia de la información cuántica se centra en extraer información de esas propiedades,​ y la computación cuántica manipula y procesa información – realiza operaciones lógicas – utilizando técnicas de procesamiento de información cuántica.​

La información cuántica, al igual que la información clásica, puede procesarse utilizando computadoras digitales, transmitirse de un lugar a otro, manipularse con algoritmos y analizarse con ciencias de la computación y matemáticas. Al igual que la unidad básica de la información clásica es el bit, la información cuántica trata con cúbits.​ La información cuántica puede medirse utilizando la entropía de Von Neumann.

Recientemente, el campo de la computación cuántica se ha convertido en un área de investigación activa debido a la posibilidad de revolucionar la informática moderna, la comunicación y la criptografía.​​

Historia y desarrollo

Desarrollo desde la mecánica cuántica fundamental

La historia de la teoría de la información cuántica comenzó a principios del siglo XX, cuando la física clásica fue revolucionada en física cuántica. Las teorías de la física clásica predecían absurdos como la catástrofe ultravioleta o electrones que giraban en espiral hacia el núcleo. Inicialmente, estos problemas se ignoraron al añadir hipótesis ad hoc a la física clásica. Pronto, se hizo evidente que era necesario crear una nueva teoría para dar sentido a estos absurdos, y así nació la teoría de la mecánica cuántica.​

La mecánica cuántica fue formulada por Erwin Schrödinger utilizando la mecánica de ondas y por Werner Heisenberg utilizando la mecánica matricial.​ La equivalencia de estos métodos fue demostrada más tarde.​ Sus formulaciones describían la dinámica de los sistemas microscópicos, pero tenían varios aspectos insatisfactorios en la descripción de los procesos de medición. Von Neumann formuló la teoría cuántica utilizando el álgebra de operadores de manera que describiera tanto la medición como la dinámica.​ Estos estudios enfatizaron los aspectos filosóficos de la medición en lugar de un enfoque cuantitativo para extraer información mediante mediciones.

Véase también: Imagen de evolución temporal

Evolución de	Imagen ( )
	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interacción (I)
Notación ket	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	constante	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
Observable	constante	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Estado mixto	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	constante	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

Desarrollo desde la comunicación

En la década de 1960, Ruslan Stratonovich, Carl Helstrom y Gordon​ propusieron una formulación de las comunicaciones ópticas utilizando la mecánica cuántica. Esta fue la primera aparición histórica de la teoría de la información cuántica. Estudiaron principalmente las probabilidades de error y las capacidades de los canales para la comunicación.​​​ Más tarde, Alexander Holevo obtuvo un límite superior para la velocidad de comunicación en la transmisión de un mensaje clásico a través de un canal cuántico.​​

Desarrollo desde la física atómica y la relatividad

En la década de 1970, se comenzaron a desarrollar técnicas para manipular estados cuánticos de átomos individuales, como la trampa de átomos y el microscopio de efecto túnel, haciendo posible aislar átomos individuales y organizarlos en arreglos. Antes de estos desarrollos, el control preciso sobre sistemas cuánticos individuales no era posible, y los experimentos usaban un control más grueso y simultáneo sobre un gran número de sistemas cuánticos.​ El desarrollo de técnicas viables de manipulación de estados individuales llevó a un mayor interés en el campo de la información y la computación cuántica.

En la década de 1980, surgió el interés en si sería posible usar efectos cuánticos para refutar la teoría de la relatividad de Einstein. Si fuera posible clonar un estado cuántico desconocido, sería posible usar estados cuánticos entrelazados para transmitir información más rápido que la velocidad de la luz, refutando la teoría de Einstein. Sin embargo, el teorema de no clonación demostró que tal clonación es imposible. Este teorema fue uno de los primeros resultados de la teoría de la información cuántica.​

Desarrollo desde la criptografía

Véase también: Criptografía cuántica

A pesar de toda la emoción y el interés por estudiar sistemas cuánticos aislados y tratar de encontrar una manera de eludir la teoría de la relatividad, la investigación en la teoría de la información cuántica se estancó en la década de 1980. Sin embargo, alrededor de la misma época, otra área comenzó a incursionar en la información y la computación cuántica: la criptografía. En un sentido general, «la criptografía es el problema de realizar comunicación o computación que involucra a dos o más partes que pueden no confiar entre sí».​

Bennett y Brassard desarrollaron un canal de comunicación en el que es imposible espiar sin ser detectado, una forma de comunicarse secretamente a largas distancias utilizando el protocolo criptográfico cuántico BB84.​ La idea clave fue el uso del principio fundamental de la mecánica cuántica de que la observación perturba lo observado, y la introducción de un espía en una línea de comunicación segura permitirá inmediatamente a las dos partes que intentan comunicarse saber de la presencia del espía.

Desarrollo desde la informática y las matemáticas

Véanse también: Supremacía cuántica y Algoritmo cuántico.

Con la llegada de las ideas revolucionarias de Alan Turing sobre una computadora programable, o máquina de Turing, demostró que cualquier cálculo del mundo real puede traducirse en un cálculo equivalente que involucra una máquina de Turing.​​ Esto se conoce como la tesis de Church-Turing.

Pronto se construyeron las primeras computadoras, y el hardware de las computadoras creció a un ritmo tan rápido que el crecimiento, a través de la experiencia en producción, se codificó en una relación empírica llamada Ley de Moore. Esta "ley" es una tendencia proyectiva que establece que el número de transistores en un circuito integrado se duplica cada dos años.​ A medida que los transistores comenzaron a hacerse más pequeños para aumentar la potencia por área de superficie, los efectos cuánticos comenzaron a manifestarse en la electrónica, resultando en interferencias no deseadas. Esto llevó al advenimiento de la computación cuántica, que utiliza la mecánica cuántica para diseñar algoritmos.

En este punto, las computadoras cuánticas mostraron la promesa de ser mucho más rápidas que las computadoras clásicas para ciertos problemas específicos. Un ejemplo de este problema fue desarrollado por David Deutsch y Richard Jozsa, conocido como el algoritmo de Deutsch–Jozsa. Sin embargo, este problema tenía pocas aplicaciones prácticas.​ Peter Shor en 1994 ideó un problema muy importante y práctico, el de encontrar los factores primos de un entero. El problema del logaritmo discreto, como se le llamó, podía resolverse eficientemente en una computadora cuántica, pero no en una computadora clásica, mostrando que las computadoras cuánticas deberían ser más poderosas que las máquinas de Turing.

Desarrollo desde la teoría de la información

Alrededor del tiempo en que la informática estaba causando una revolución, también lo estaba la teoría de la información y la comunicación, a través de Claude Shannon.​​​ Shannon desarrolló dos teoremas fundamentales de la teoría de la información: el teorema de codificación de canal sin ruido y el teorema de codificación de canal ruidoso. También demostró que los códigos correctores de errores podían usarse para proteger la información enviada.

La teoría de la información cuántica también siguió una trayectoria similar, Ben Schumacher en 1995 hizo un análogo al teorema de codificación sin ruido de Shannon usando el cúbit. También se desarrolló una teoría de corrección de errores, que permite a las computadoras cuánticas realizar cálculos eficientes independientemente del ruido y realizar comunicaciones confiables a través de canales cuánticos ruidosos.​

Cúbit

El cúbit es el análogo cuántico del bit, la unidad más básica de computación cuántica. La diferencia fundamental entre el bit y el cúbit es que, mientras que el primero solo puede estar en dos estados ${\textstyle \{0,1\}}$, el segundo puede encontrarse en cualquier combinación lineal de ${\textstyle \{|0>,|1>\}}$. Esto es lo que en física cuántica se conoce como Principio de Superposición, que junto con el entrelazamiento, la interferencia y el efecto túnel, explica las diferencias entre la computación clásica y la cuántica.

Desde un punto de vista físico, un cúbit es un sistema con un grado de libertad que al medir exhibe uno de entre dos posibles valores. Ejemplos son un fotón en una guía unidimensional (donde el grado de libertad es su polarización) o un sistema de dos niveles, como puedan serlo un punto cuántico o un electrón en un orbital s en presencia de un campo magnético (donde el grado de libertad es la energía).

También es posible definir sistemas de más de dos niveles, como un cútrit, que tiene tres. Sin embargo, en la práctica casi siempre se trabaja con cúbits, por analogía con la computación clásica, que emplea un lenguaje binario.

Cúbits y teoría de la información

La información cuántica difiere significativamente de la información clásica, representada por el bit, en muchas formas sorprendentes e inusuales. Mientras que la unidad fundamental de la información clásica es el bit, la unidad básica de la información cuántica es el cúbit. La información clásica se mide utilizando la entropía de Shannon, mientras que su contraparte mecánica cuántica es la entropía de Von Neumann. Para un ensamblaje estadístico de sistemas mecánicos cuánticos con la matriz de densidad $\rho$, se calcula como $S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).$​ Muchas medidas de entropía de la teoría de la información clásica también pueden generalizarse al caso cuántico, como la entropía de Holevo​ y la entropía cuántica condicional.

A diferencia de los estados digitales clásicos, que son discretos, un cúbit tiene valores continuos, descrito por una dirección en la esfera de Bloch. A pesar de tener valores continuos, un cúbit es la unidad más pequeña posible de información cuántica, y aunque su estado es continuo, es imposible medir el valor con precisión. Cinco teoremas destacados describen los límites en la manipulación de la información cuántica:​

1. Teorema de no teletransportación, que establece que un cúbit no puede convertirse completamente en bits clásicos, es decir, no puede ser completamente «leído».
2. Teorema de no clonación, que impide que un cúbit arbitrario sea copiado.
3. Teorema de no eliminación, que impide que un cúbit arbitrario sea eliminado.
4. Teorema de no difusión, que impide que un cúbit arbitrario sea entregado a múltiples destinatarios, aunque puede transportarse de un lugar a otro (por ejemplo, mediante teleportación cuántica).
5. Teorema de no ocultamiento, que demuestra la conservación de la información cuántica.

Estos teoremas se derivan de la unitariedad, que, según Leonard Susskind, es el término técnico para la afirmación de que la información cuántica dentro del universo se conserva.​​ Estos teoremas abren posibilidades en el procesamiento de información cuántica.

Procesamiento de información cuántica

El estado de un cúbit contiene toda su información, a menudo expresada como un vector en la esfera de Bloch. Este estado puede alterarse aplicando transformaciones lineales o puertas cuánticas, descritas como transformaciones unitarias, que son rotaciones en la esfera de Bloch. Mientras que las puertas clásicas corresponden a operaciones familiares de la lógica booleana, las puertas cuánticas son operadores unitarios físicos.

• Debido a la volatilidad de los sistemas cuánticos y la imposibilidad de copiar estados, el almacenamiento de información cuántica es mucho más desafiante que el almacenamiento de información clásica. Sin embargo, la corrección de errores cuánticos permite un almacenamiento confiable en principio. La existencia de códigos de corrección de errores cuánticos también ha permitido la computación cuántica tolerante a fallos.
• Los bits clásicos pueden codificarse en configuraciones de cúbits y recuperarse posteriormente utilizando puertas cuánticas. Un solo cúbit no puede transmitir más de un bit de información clásica accesible sobre su preparación, según el teorema de Holevo. Sin embargo, en la codificación superdensa, un emisor que actúa sobre uno de dos cúbits entrelazados puede transmitir dos bits de información accesible sobre su estado conjunto a un receptor.
• La información cuántica puede transmitirse a través de un canal cuántico, análogo a un canal de comunicación clásico. Los mensajes cuánticos tienen un tamaño finito, medido en cúbits, y los canales cuánticos tienen una capacidad de canal finita, medida en cúbits por segundo.
• La información cuántica y sus cambios pueden medirse cuantitativamente utilizando un análogo de la entropía de Shannon, conocida como entropía de Von Neumann.
• En algunos casos, los algoritmos cuánticos pueden realizar cálculos más rápido que cualquier algoritmo clásico conocido. El ejemplo más notable es el algoritmo de Shor, que factoriza números en tiempo polinómico, a diferencia de los mejores algoritmos clásicos, que requieren tiempo subexponencial. Como la factorización es crucial para la seguridad del cifrado RSA, el algoritmo de Shor impulsó el desarrollo de la criptografía postcuántica, que busca esquemas de cifrado seguros frente a computadoras cuánticas. Otros ejemplos de supremacía cuántica incluyen el algoritmo de búsqueda de Grover, que ofrece una aceleración cuadrática sobre el mejor algoritmo clásico posible. La clase de complejidad de problemas resolubles eficientemente por una computadora cuántica se conoce como BQP.
• La distribución cuántica de claves (QKD) permite la transmisión incondicionalmente segura de información clásica, a diferencia del cifrado clásico, que teóricamente puede romperse. Cabe notar que ciertos aspectos de la seguridad de QKD están en debate.

El estudio de estos temas y sus diferencias constituye la teoría de la información cuántica.

Relación con la mecánica cuántica

La mecánica cuántica estudia cómo evolucionan dinámicamente los sistemas físicos microscópicos. En la teoría de la información cuántica, los sistemas cuánticos estudiados se abstraen de sus contrapartes del mundo real. Un cúbit podría ser, por ejemplo, un fotón en una computadora cuántica óptica lineal, un ion en una computadora cuántica de iones atrapados, o una colección de átomos en una computadora cuántica superconductora. Independientemente de la implementación física, los límites y propiedades de los cúbits implícitos en la teoría de la información cuántica se mantienen, ya que todos estos sistemas se describen matemáticamente usando matrices de densidad sobre los números complejos. A diferencia de la mecánica cuántica, que a menudo estudia sistemas de dimensión infinita como el oscilador armónico cuántico, la teoría de la información cuántica aborda tanto sistemas de variables continuas​ como sistemas de dimensión finita.​​​

Entropía e información

La entropía mide la incertidumbre en el estado de un sistema físico.​ Puede analizarse desde las perspectivas de las teorías de la información clásica y cuántica.

Teoría de la información clásica

La información clásica se basa en los conceptos establecidos por Claude Shannon. En principio, la información clásica puede almacenarse en cadenas binarias, con cualquier sistema de dos estados sirviendo como bit.​

Entropía de Shannon

Véase también: Primer teorema de Shannon

La entropía de Shannon cuantifica la información obtenida al medir el valor de una variable aleatoria o la incertidumbre de un sistema antes de la medición. Puede verse como la incertidumbre antes de realizar una medición o como la información obtenida después de dicha medición.​

Para una distribución de probabilidad discreta $P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})$ asociada con eventos $x_{1},...,x_{n}$, la entropía de Shannon es la información promedio asociada con este conjunto de eventos, en bits:

$H(X)=H[P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})]=-\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\log _{2}P(x_{i})$

Esta definición de entropía puede usarse para cuantificar los recursos físicos necesarios para almacenar la salida de una fuente de información. Las formas de interpretar la entropía de Shannon discutidas anteriormente suelen ser significativas solo cuando el número de muestras de un experimento es grande.​

Entropía de Rényi

La entropía de Rényi es una generalización de la entropía de Shannon. Para una distribución de probabilidad discreta $P(a_{1}),P(a_{2}),...,P(a_{n})$, asociada con eventos $a_{1},...,a_{n}$, la entropía de Rényi de orden r se define como:​

$H_{r}(A)={1 \over 1-r}\log _{2}\sum _{i=1}^{n}P^{r}(a_{i})$

para $0<r<\infty$ y $r\neq 1$. La entropía de Shannon se obtiene cuando $r\rightarrow 1$, la entropía de Hartley (o entropía máxima) cuando $r\rightarrow 0$, y la entropía mínima cuando $r\rightarrow \infty$.

Teoría de la información cuántica

La teoría de la información cuántica es en gran parte una extensión de la teoría de la información clásica a sistemas cuánticos. La información clásica se produce cuando se realizan mediciones de sistemas cuánticos.​

Entropía de von Neumann y entrelazamiento

La entropía de von Neumann es el análogo cuántico a la entropía clásica de Shannon. Esta última se define para el caso de una variable aleatoria ${\textstyle X}$ que tomaba valores ${\textstyle \{x\}}$ con probabilidades ${\textstyle \{p(x)\}}$ como

$H(X)=-\sum _{x\in X}p(x)\log p(x)$

donde el logaritmo se toma en base dos. La entropía clásica optimiza el proceso de compresión de información cuando no todos los valores de la variable aleatoria son emitidos con la misma probabilidad por la fuente. Así pues, ${\textstyle H(X)}$ es el número medio de bits necesarios para codificar un mensaje emitido por la fuente y por lo tanto, una medida de la ignorancia con que se conoce ${\textstyle X}$ (o, complementariamente, la información que se puede obtener de ella).

Si se desea definir la entropía de un sistema cuántico hay un problema: la entropía dependerá de qué observable ${\textstyle X}$ se mida, por lo que deja de ser, en principio, una cantidad exclusiva del sistema. Para un estado mezcla ${\textstyle \rho }$, la probabilidad de obtener el resultado $x$ en la medida del observable ${\textstyle X}$ es ${\textstyle P(x)=Tr\{\rho \Pi _{x}\}}$, donde ${\textstyle \Pi _{x}=|x><x|}$ es el proyector. Si la entropía mide la ignorancia que se tiene del sistema cuántico, se escoge el proceso de medida que minimice dicha ignorancia, que resulta ser aquel para el que los estados ${\textstyle \{|x>\}}$ diagonalizan la matriz densidad. De este modo, la entropía de von Neumann viene dada por

$S(\rho )=-Tr\{\rho \log {\rho }\}=-\sum _{x}\lambda _{x}\log {\lambda _{x}}$

donde ${\textstyle \sum _{x}\lambda _{x}=1}$ y ${\textstyle 1\geq \lambda _{x}\geq 0}$. Se puede comprobar que la entropía de von Neumann es cero y por lo tanto, mínima, si el estado es puro. Esto es consistente con la idea intuitiva de entropía como ignorancia a priori o conocimiento a posteriori, ya que en el caso de un estado puro no se ignora nada del sistema y por lo tanto, no queda nada por conocer de él.

Es posible definir, de manera completamente análoga al caso clásico, la entropía cuántica relativa entre dos matrices densidad $\rho$ y $\sigma$ como

$S(\rho ||\sigma )=Tr\{\rho \log {\rho }\}-Tr\{\rho \log {\sigma }\}$

que es siempre positiva y cuantifica cuán diferentes son los dos estados. Se comprueba que si hay un estado ${\textstyle \{|x>\}}$ con probabilidad nula para $\sigma$ pero no para $\rho$, la entropía relativa es infinita; es decir, los dos estados son infinitamente diferentes.

Por otro lado, si el sistema se compone de subsistemas, como en el caso de varios cúbits,es posible definir una entropía parcial para cada uno de ellos como la ignorancia con que se conoce su estado individual (ya sea como estado puro o matriz densidad). Para el caso de dos cúbits ${\textstyle A}$ y ${\textstyle B}$ se define ${\textstyle \rho _{A}=Tr_{B}\{\rho \}}$ y ${\textstyle S(\rho _{A})=-Tr_{A}\{\rho _{A}\log {\rho _{A}}\}}$ donde en ${\textstyle Tr_{B}}$ la traza se toma sobre una base de estados del cúbit ${\textstyle B}$ y similarmente para ${\textstyle Tr_{A}}$.

Un caso interesante lo forman los estados puros tales que las partes que lo forman están entrelazadas. Es decir, ${\textstyle \rho =|\Psi ><\Psi |}$, pero sin que existan estados individuales de los cúbits ${\textstyle |\psi _{n}>_{n}}$ tales que ${\textstyle |\Psi >=|\psi _{1}>_{1}\otimes |\psi _{2}>_{2}\otimes ...}$ . Como $\rho$ es puro, la entropía total del sistema es nula y se conoce todo del sistema en su conjunto. Sin embargo, las entropías individuales de los subsistemas 1,2,... no son nulas, por lo que el conocimiento absoluto del todo no supone el conocimiento absoluto de sus partes.

Esto se puede comprobar para un sistema de dos cúbits en uno de los cuatro estados de Bell

$\Phi ^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>|0>\pm |1>|1>)$

$\Psi ^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>|1>\pm |1>|0>)$

Como estos cuatro estados forman una base del espacio de los dos cúbits y por ser la traza invariante frente a transformaciones unitarias, se comprueba fácilmente que ${\textstyle S(|BELL>)=0}$. Sin embargo, cualquiera de las matrices densidad obtenidas tomando una de las dos trazas parciales es 1.

Para el caso de un sistema biparte lo anterior se traduce en que la información mutua

$I(\rho _{AB})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})>0$

o lo que es lo mismo, ambas partes del sistema tienen información en común.

Circuitos y puertas lógicas cuánticas

De la misma forma que en computación clásica existen puertas lógicas que realizan operaciones sobre uno o más bits, en computación cuántica hay puertas lógicas cuánticas, que en este caso operan sobre uno o más cúbits. La principal diferencia entre ambos modelos de computación es que, si bien en el clásico se pueden hacer operaciones de forma reversible empleando una puerta de como poco tres bits (como la de Toffoli, aunque con éxitos prácticos limitados), la computación cuántica es intrínsecamente reversible. Esto se debe a que toda transformación realizada sobre un sistema cuántico ha de conservar la amplitud de probabilidad y por lo tanto, toda puerta lógica cuántica representa la acción de un operador unitario. Así pues, para toda puerta lógica cuántica existe otra que realiza la operación inversa, devolviendo al cúbit o cúbits a su estado inicial.

Es muy didáctico considerar el caso de un solo cúbit en un estado puro. En este caso, siempre podemos escribir ${\textstyle |\psi >=\cos(\theta /2)|0>+\exp(i\phi )\sin(\theta /2)|1>}$ y una puerta solo cambia, si ignoramos fases globales, los dos ángulos ${\textstyle \theta }$ y ${\textstyle \phi }$, produciendo una rotación del cúbit sobre la esfera de Bloch.

Aunque la computación cuántica es reversible desde un punto de vista teórico, la realidad práctica es otra, ya que un sistema nunca está aislado del todo y hay un entorno con el que interacciona. Si bien la evolución del conjunto que forman el entorno y el sistema es unitaria, las interacciones introducen correlaciones entre ambos, que a su vez introducen ruido en el sistema y fenómenos de decoherencia, haciendo la computación por lo tanto clásica e irreversible. No obstante, estas limitaciones son únicamente de carácter tecnológico y grandes avances se están realizando para combatirlas y tener ordenadores cuánticos verdaderamente funcionales. Por último, también es posible simular computación clásica reversible con un ordenador cuántico que no tenga ruido, haciendo de la computación cuántica un modelo universal de computación.

Puertas de un solo cúbit

Una puerta lógica cuántica de un solo cúbit opera sobre un espacio de Hilbert de dos dimensiones, por lo que la podemos representar como una matriz cuadrada 2x2 unitaria. A continuación se enumeran y describen las puertas de un solo cúbit más relevantes.

• Puerta de Hadamard o H: ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$
• Puerta X: ${\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$
• Puerta Y: ${\textstyle {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$

• Puerta Z: ${\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$
• Puerta S: ${\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&i\\\end{bmatrix}}}$
• Puerta ${\textstyle \pi /8}$: ${\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{\pi /4}\\\end{bmatrix}}}$

Las puertas X, Y y Z son las tres matrices de espín de Pauli, que hacen de generadores del grupo ${\textstyle SU(2)}$ en la representación adjunta. Este grupo incluye esencialmente las rotaciones de vectores de dos dimensiones de números complejos. Puesto que cada una de las puertas tiene un sentido geométrico claro (por ejemplo, la puerta S rota un estado puro ${\textstyle 90^{\circ }}$ en sentido horario alrededor del eje polar de la esfera de Bloch), las otras puertas se pueden escribir en términos de ellas. Sin embargo, como una puerta ha de ser a nivel práctico una unidad discreta, se mantienen las demás. Por otra parte, ${\textstyle S=T^{2}}$. En este caso, el motivo por el que se mantienen las dos es porque ambas se emplean de manera recurrente.

Puertas de dos y más cúbits

Estas operan sobre espacios de Hilbert de dimensión ${\textstyle 2^{n}}$, por lo que se representarán como matrices ${\textstyle 2^{n}}$-cuadradas. La más importante de todas ellas es la puerta XOR o CNOT, de dos cúbits, que introduce la operación controlada ${\textstyle |a>\otimes |b>\rightarrow |a>\otimes |b\bigoplus a>}$. Si ${\textstyle a=0}$ no hace nada y si ${\textstyle a=1}$, cambia 0 por 1 en ${\textstyle b}$ y viceversa. Se ve que sobre el target la puerta CNOT es simplemente $\sigma _{z}^{a}$.

La puerta CNOT se representa como

${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}$

El motivo por el que las puertas de un solo cúbit que se han presentado y la CNOT son tan importantes es porque son universales:​ toda puerta lógica cuántica de cualquier número de cúbits puede escribirse como el resultado de la acción sucesiva de un cierto número de ellas, si bien es cierto que dicho proceso no tiene por qué ser exacto y la representación tendrá, en general, carácter asintótico.

Aplicaciones

La teoría de la información cuántica ha cambiado el paradigma de las comunicaciones y de la seguridad de las mismas, así como de la computación.

Comunicación cuántica: teleportación y codificado súperdenso

La comunicación cuántica es una de las aplicaciones de la física cuántica y la información cuántica. Hay teoremas famosos, como el teorema de no clonación, que ilustran propiedades importantes en la comunicación cuántica. La codificación superdensa y la teleportación cuántica son también aplicaciones de la comunicación cuántica. Representan dos formas opuestas de comunicarse usando cúbits. Mientras que la teletransportación transfiere un cúbit de Alicia a Benito usando dos bits clásicos, asumiendo que Alicia y Benito comparten un estado de Bell previamente, la codificación densa transfiere dos bits clásicos de Alicia a Benito usando un cúbit, bajo la misma suposición de un estado de Bell compartido.

En la teleportación, las dos partes, Alicia y Benito, se quedan cada uno con un cúbit de un par de Bell, en los que el entrelazamiento o grado de correlación es máximo. Por ejemplo, el estado ${\textstyle \Phi _{23}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0>_{2}|0>_{3}+|1>_{2}|1>_{3})}$. Si Alicia posee otro cúbit ${\textstyle \xi _{1}=\alpha |0>_{1}+\beta |1>_{1}}$ que le quiere enviar a Benito, el estado inicial es ${\textstyle \xi _{1}\Psi _{23}^{+}}$, que se puede escribir como

${\frac {1}{2}}\{\Phi _{12}^{+}(\alpha |0>_{3}+\beta |1>_{3})+\Phi _{12}^{-}(\alpha |0>_{3}-\beta |1>_{3})+\Psi _{12}^{+}(\alpha |1>_{3}+\beta |0>_{3})+\Psi _{12}^{-}(\alpha |1>_{3}-\beta |0>_{3})\}$

De esta forma, si Alicia mide en la base de Bell sus dos cúbits 1 y 2, el cúbit 3 de Benito colapsa a uno de los cuatro estados entre paréntesis. Si ahora Alicia le comunica por medio de un canal clásico cuál de los cuatro estados de Bell obtuvo en su medida, Benito puede aplicar una puerta lógica cuántica que lleve el estado de su cúbit al que Alicia le quería enviar en un primer momento.

El codificado súperdenso en un muy similar a la teleportación: ambas partes poseen un cúbit de un estado máximamente entrelazado (aunque no necesariamente de Bell), pero en este caso Alicia le quiere enviar a Benito dos bits clásicos. Para hacerlo, Alicia realiza una operación unitaria sobre su cúbit y transforma el estado en uno de los cuatro estados de Bell, que son ortogonales y por lo tanto, absolutamente diferenciables. Entonces le envía su cúbit a Benito, quien midiendo ambos cúbits a la vez puede deducir en qué estado de Bell se encuentra el cúbit y obtener los dos bits clásicos que Alicia le quería transferir.

Distribución cuántica de claves

Una de las aplicaciones más conocidas de la criptografía cuántica es la distribución cuántica de claves, que proporciona una solución teórica al problema de seguridad de una clave clásica. La ventaja de la distribución de claves cuánticas es que es imposible copiar una clave cuántica debido al teorema de no clonación. Si alguien intenta leer datos codificados, el estado cuántico transmitido cambiará, lo que permite detectar escuchas.

Criptografía cuántica: protocolo BB84

La principal diferencia entre la criptografía cuántica y la clásica es que la seguridad de la segunda se basa en la complejidad exponencial de obtener la clave. La superposición, el entrelazamiento y la interferencia hacen que esto no sea así para el primer caso.

El protocolo BB84,​ que recibe su nombre de las iniciales de sus autores y del año de su creación (Charles Bennett, Gilles Brassard, 1984), es el más importante de los métodos criptográficos cuánticos. Generalmente se explica como un método para comunicar de forma segura una clave privada de un tercero a otro para su uso en el cifrado de almohadilla de un solo uso.​ En él, tenemos dos partes, Alicia y Benito (Alice y Bob en inglés), que desean intercambiar un mensaje. Alicia codifica un bit clásico en un fotón con polarización bien definida, pero emplea dos bases de polarización distintas, escogiendo en el proceso de codificación una de ellas al azar. Benito recibe el fotón a través de un canal cuántico y mide en una de las dos bases, pero como ignora en qué base preparó Alicia el fotón, él también mide al azar. Más tarde ambas partes emplean un canal clásico donde Alicia comunica la base con que preparó cada cúbit y Benito, si midió o no con la misma y descartan aquellos bits que Benito obtuvo empleando la base incorrecta. Entonces es cuando comparan un subconjunto aleatorio de aquellos bits que se han quedado para estudiar si el canal cuántico estaba siendo interferido por una tercera parte. Si los resultados no coinciden en un número por encima de un umbral que ellos fijan, abortan el proceso y lo intentan empleando otro canal cuántico.

E91

El E91 fue creado por Artur Ekert en 1991. Su esquema utiliza pares de fotones entrelazados. Estos fotones pueden ser creados por Alicia, Benito o un tercero, incluido un espía como Eve. Uno de los fotones se distribuye a Alicia y el otro a Benito, de modo que cada uno termina con un fotón del par.

Este esquema se basa en dos propiedades del entrelazamiento cuántico:

1. Los estados entrelazados están perfectamente correlacionados, lo que significa que si Alicia y Benito miden sus partículas con polarización vertical u horizontal, siempre obtienen la misma respuesta con un 100% de probabilidad. Lo mismo ocurre si miden cualquier otro par de polarizaciones complementarias (ortogonales). Esto requiere que las dos partes distantes tengan una sincronización direccional exacta. Sin embargo, según la teoría de la mecánica cuántica, el estado cuántico es completamente aleatorio, por lo que es imposible para Alicia predecir si obtendrá resultados de polarización vertical u horizontal.
2. Cualquier intento de escucha por parte de Eve destruye este entrelazamiento cuántico, permitiendo que Alicia y Benito lo detecten.

B92

El B92 es una versión más simple del BB84.​

Las principales diferencias entre B92 y BB84:

• B92 solo necesita dos estados.
• BB84 necesita cuatro estados de polarización.

Al igual que en BB84, Alicia transmite a Benito una cadena de fotones codificados con bits elegidos aleatoriamente, pero esta vez los bits que Alicia elige determinan las bases que debe usar. Benito aún elige aleatoriamente una base para medir, pero si elige la base incorrecta, no medirá nada, lo cual está garantizado por las teorías de la mecánica cuántica. Benito puede simplemente informar a Alicia después de cada bit que envía si lo midió correctamente.​

Computación cuántica

La computación cuántica emplea cúbits para realizar operaciones, de la misma forma que un ordenador clásico haría uso de bits para hacer sus cálculos. Lo más interesante es que la acción conjunta del principio de superposición, el entrelazamiento y la interferencia permiten, en ocasiones, acelerar muchos cálculos que por medio de algoritmos clásicos llevarían mucho más tiempo. Por ejemplo, el algoritmo de Grover es el análogo cuántico al algoritmo de búsqueda, el que se quiere encontrar un elemento en una lista de N elementos. Mientras que clásicamente la complejidad del algoritmo escala con $O(N)$, cuánticamente lo hace con $O({\sqrt {N}})$. Otro ejemplo de relevancia criptográfica lo dan los algoritmos cuánticos para romper claves de seguridad, que transforman un problema que a nivel clásico tiene complejidad exponencial o NP a uno de la clase P y por lo tanto, resoluble en una escala de tiempo corta.

Decoherencia cuántica

Véase también: Decoherencia cuántica

Si un sistema cuántico estuviera perfectamente aislado, mantendría la coherencia a la perfección, pero sería imposible probar todo el sistema. Si no está perfectamente aislado, por ejemplo durante una medición, la coherencia se comparte con el entorno y parece perderse con el tiempo; este proceso se denomina decoherencia cuántica. Como resultado de este proceso, el comportamiento cuántico se pierde aparentemente, al igual que la energía parece perderse por la fricción en la mecánica clásica.

Corrección cuántica de errores

Uno de los métodos de corrección y prevención de errores en computación clásica es copiar la información.​ Por ejemplo, haciendo ${\textstyle 0\rightarrow 000}$. El teorema de no clonación hace que esto sea imposible cuánticamente, pero igualmente existen formas de proteger la información frente a ataques y ruido. Se parte de una fuente que produce estados ${\textstyle \{\rho _{i}\}}$ con probabilidades ${\textstyle \{p_{i}\}}$. A continuación, se envían los estados a un receptor a través de un canal cuántico ${\textstyle C}$, que los transforma a otros ${\textstyle W_{i}}$; esto es, ${\textstyle C:\rho _{i}\mapsto W_{i}}$. Si el canal tiene ruido, los estados ${\textstyle W_{i}}$ que se reciban en el otro extremo serán diferentes a los de entrada. Para cuantificar cómo de diferentes son se introduce el concepto de fidelidad $F$:

$F=\sum _{i}p_{i}{Tr({\sqrt {{\sqrt {\rho _{i}}}W_{i}{\sqrt {\rho _{i}}}}}})$

Cuanto mayor sea la fidelidad, más parecidos serán las $W_{i}$ a las $\rho _{i}$ y menos ruidoso será el canal (algunos autores, como Shor y Bennet, definen la fidelidad como el cuadrado de la expresión de arriba). Aunque no se puede clonar el estado de un cúbit, sí que se puede incorporar a un subespacio de un espacio de Hilbert de más cúbits. Por ejemplo, haciendo ${\textstyle |0>\rightarrow {}|000>}$. Los dos errores más frecuentes que pueden ocurrir es que se voltee un cúbit (X-error) o que se introduzca una fase entre los estados de la base computacional (Z-error). El primero se corresponde a ${\textstyle |0>\leftrightarrow {}|1>}$, mientras que el segundo es del tipo ${\textstyle \alpha |0>+\beta |1>\rightarrow \alpha |0>+\beta \exp i\delta |1>}$. Se puede probar que el siguiente código protege contra ambos tipos de errores:

$|0>\rightarrow {}{\frac {1}{2}}(|000000000>+|111111000>+|111000111>+|000111111>)$

$|1>\rightarrow {}{\frac {1}{2}}(|111111111>+|000000111>+|000111000>+|111000000>)$

Uno de los ejemplos de códigos de corrección de errores es el código topológico de color.​ Se trata de un código estabilizador compuesto de cúbits en dos dimensiones, que requiere únicamente medidas geométricas locales. Este código de corrección de errores es utilizado en la actualidad para reducir los errores en los ordenadores cuánticos.

Fundamentos de la mecánica cuántica

La teoría de la información cuántica no solo permite obtener nuevos protocolos para la transmisión de información y para la computación, sino también abordar cuestiones fundamentales de la física cuántica, como lo son el entrelazamiento o los postulados de la mecánica cuántica.​

Debate en torno a la teleportación cuántica

La teleportación cuántica abrió un debate que todavía se mantiene a día de hoy. Los puntos importantes son los siguientes: después de la medida, Alicia obtiene uno de los estados de Bell y en el proceso le deja a Benito un estado que puede ser transformado al estado inicial de Alicia mediante una operación unitaria. Es importante notar dos cosas: Benito obtiene dicho estado de manera instantánea, pero ignora cuál de los cuatro posibles estados ha obtenido; así pues, ambas partes han de comunicarse mediante un canal clásico, en el que la velocidad de transmisión de la información está limitada por la de la luz.

Podemos hacernos las siguientes preguntas:

• Puesto que Benito no sabe, nada más medir Alicia, que estado obtiene él de manera instantánea y puesto que no tiene forma de averiguarlo sin comprometer el mensaje (porque para ello tendría que medir y medir es proyectar), ¿puede afirmarme que posea información?
• Puesto que debe existir un canal de comunicación clásico entre ambas partes, debemos codificar un estado cuántico en un número finito de bits. Pero si se tiene en cuenta la superposición, ¿cómo es posible codificar el continuo de estados de un espacio de Hilbert en unos bits clásicos y por lo tanto, con un número discreto de estados?

La primera pregunta suele obtener una respuesta que procede de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, según la cual esta sería poco más que un formalismo matemático que permite obtener predicciones de los resultados experimentales. En esta línea, toda afirmación que se hiciera sobre cómo es un estado cuántico se limitaría a lo que se observa en un experimento; es decir, la realidad de la mecánica cuántica es subjetiva y dependiente del proceso de medida. Existen respuesta procedentes de otras interpretaciones de la mecánica cuántica, como la teoría de de Broglie-Bohm.

Para el segundo punto Jozsa y Penrose sugieren que en el momento en que Alicia mide en su sistema se produce un flujo de información desde el presente (el momento de la medida) hacia el pasado, hacia el instante en que Alicia y Benito entrelazaron sus cúbits. Entonces la información viaja al futuro, al instante en que Benito realiza la operación unitaria que transforma su estado en el que Alicia quería teletransportar.

Deutsch y Hayden proponen una explicación más convencional, según la cual la información está verdaderamente codificada, aunque de forma oculta, en los bits clásicos de Alicia.

Sin embargo, Timpson sostiene que el debate nace de una falacia, la de pensar en la información como parte del contenido material del mundo y por lo tanto, como sujeta a las mismas leyes que rigen el comportamiento de la materia y la energía. Según este autor, la cita de Rolf Landauer La información es física debería de ser remplaza por Los ordenadores son físicos, reservando para la información una naturaleza abstracta.

Principio de Zeilinger

El principio de Zeilinger pretende ser un axioma para la mecánica cuántica que explique qué es el entrelazamiento. Según este principio, existen sistemas referidos como elementales que dan respuesta a una pregunta o proceso experimental del tipo sí/no, es decir, a una pregunta que admite una respuesta binaria. Por ejemplo, "¿está el fotón polarizado en esta dirección?" sería una de tales preguntas (comparar esta pregunta con "¿en qué dirección está polarizado el fotón?", que no admite una de tales respuestas). En principio, mediante procedimientos de medida de este tipo sería posible reducir un sistema compuesto de varios cúbits a uno de menos cúbits. El entrelazamiento surge entonces cuando se plantean preguntas que no admiten una respuesta binaria, que reciben por lo tanto una respuesta aleatoria.

Teorema CBH

Este teorema, debido a Clifton, Bub y Halvorson, caracteriza la mecánica cuántica a partir de tres axiomas que restringen la transferencia de información cuántica:

• No es posible una transferencia superlumínica de información entre dos partes mediante una medida en uno solo de ellos.
• No se pueden transmitir estados mezcla o clonar estados puros si no se conoce el estado en cuestión.
• En procesos de encriptado, Alicia (quien envía la información) no puede alterar los resultados que obtenga Benito (quien la recibe) en su medida, mientras que Benito no puede obtener más información de la que Alicia le proporciona.

El primero restringe los efectos de las operaciones locales, excluyendo que puedan ser responsables de un envío de información instantáneo. El segundo generaliza el Teorema de No Clonación para estados mezcla, de tal modo que la información contenida en un estado compuesto por matrices densidad que no conmuten no puede ser clonada sin alterar dicho estado. El tercero simplemente establece que en procesos criptográficos las acciones de ambas partes están constreñidas, no pudiendo ninguna de las dos engañar a la otra: si Alicia codifica información, Benito no puede conocerla toda solo con la que Alicia le ha proporcionado en un primer momento. Sin embargo, el posterior envío de información de Alicia ha de ser suficiente para que este pueda reconstruir el mensaje, siendo imposible para la primera distorsionar los resultados de las medidas de Benito de manera no local.

QBism

La teoría antiguamente conocida como Bayesianismo cuántico y formalmente conocida como QBism o QBismo en español se debe a Christopher A. Fuchs, Carlton Caves y Rudiger Schack es una teoría de la mecánica cuántica. El QBismo es una interpretación de la mecánica cuántica que concibe la teoría como una herramienta para que cada agente evalúe y actualice sus expectativas acerca de los resultados de sus propias acciones sobre el mundo.​ No entiende el estado cuántico como una propiedad objetiva del sistema, sino como una expresión matemática de las creencias del agente sobre ese sistema. Desde esta perspectiva, la mecánica cuántica no describe una realidad independiente del observador, sino que proporciona un marco normativo para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Para el QBismo, una medición es una acción emprendida por el agente, y cada resultado constituye una experiencia para ese agente, no el descubrimiento de un hecho preexistente, sino el producto de una interacción específica.​

En este modelo en el proceso de medida sistema y observador se afectan mutuamente, donde el segundo estimula al primero y este, en respuesta, exhibe unos resultados que alteran las creencias del observador.

Revistas

Muchas revistas publican investigaciones sobre la ciencia de la información cuántica, aunque solo unas pocas se dedican exclusivamente a esta área. Entre ellas se encuentran:

• International Journal of Quantum Information
• npj Quantum Information
• Quantum

• Quantum Information & Computation
• Quantum Information Processing
• Quantum Science and Technology

Véase también

• Mecánica cuántica
• Computación cuántica
• Criptografía cuántica
• Interpretaciones de la mecánica cuántica
• Entropía (teoría de la información)
• Entropía de von Neumann
• John von Neumann
• John S. Bell
• David Bohm
• Christopher A. Fuchs

Enlaces externos

• Notas de John Watrous, del Perimeter Insitute de la Universidad de Waterloo, Canadá - Muy detalladas. Destacan por su extensión y por el alto rigor matemático.
• Notas de John Preskill, de Caltech
• Review de la familia Horodecki sobre el entrelazamiento

• Datos: Q2122243
• Multimedia: Quantum information / Q2122243