Tensor antisimétrico
En matemáticas, un tensor antisimétrico o antisimétrico con respecto a un subconjunto de índices es un tensor que alterna signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto.[1][2] Cuando un tensor es antisimétrico respecto a todos sus índices se llama tensor completamente antisimétrico o simplemente tensor anstisimétrico. Por ejemplo:
Son condiciones que satisface un tensor antisimétrico con respecto a sus primeros tres índices.
Es importante destacar que la condición de antisimetría requiere que en el subconjunto de índices respecto a los que existe antisimetría, todos los índices sean covariantes o contravariantes, ya que los tensores subconjuntos mixtos están excluidos de la condición de antisimetría. Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden puede denominarse forma diferencial , y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse -vector.
Tensores antisimétricos y simétricos[editar]
Un tensor que es antisimétrico en los índices y tiene la propiedad de que la contracción con un tensor que es simétrico en los índices y es idénticamente 0:
Para un tensor general U con componentes y un par de índices y U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:
-
| || (parte simétrica)
|| ||(parte antisimétrica).
Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en
Notación[editar]
Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,
En 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir como
En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como:
Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.
Ejemplos[editar]
Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:
- Trivialmente, todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (además de ser totalmente simétricos).
- El tensor campo electromagnético, en electromagnetismo.
- La forma volumétrica riemanniana en una métrica pseudo-riemanniana.
Véase también[editar]
Referencias y notas[editar]
- ↑ K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. (requiere registro).
- ↑ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). From Vectors to Tensors. Springer. p. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. section §7.
Bibliografía[editar]
- Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.
- J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85-86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.