Ver el código de «Seno (trigonometría)»

{{Ficha de función
|nombre       = Seno
|gráfica      = Sine.svg
|gráfica_tamaño = 350px
|función      = sen (x)
|tipo         = 
|descubridor  = 
|dominio      = <math> \mathbb{R} </math>
|codominio    = 
|imagen       = [-1,1]
|propiedades  = 
|derivada     = [[Coseno|cos x]]
|primitiva    = -cos x + c
|inversa      = [[Arcoseno|arcsen x]]
|límite       = 
|relacionadas = 
|notas        = 
}}

En [[matemática]], el '''seno''' es una de las seis [[funciones trigonométricas]], llamadas también '''funciones circulares''';<ref> A. I. Markushévich: ''Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas'' Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100</ref> es una función real e [[funciones par e impar|impar]] cuyo dominio es <math>\mathbb{R}</math> (el conjunto de los [[Número real|números reales]]) y cuyo [[codominio]] es el intervalo cerrado <math>[-1,1]</math>:
{{ecuación|<math>
   \begin{array}{rrcl}
     \sin : & \mathbb{R}  & \longrightarrow & [-1,1]     \\
            & x           & \longmapsto     & \sin(x)
\end{array}
</math>||left}}

se denota <math> f(x) = \sin (x)</math> para todo <math>x \in \mathbb{R}</math>. El nombre se abrevia a veces como '''sen''' en la forma española y '''''sin''''' en las formas [[latín|latina]] e inglesa.<ref>{{Cita libro |título=Diccionario esencial de las ciencias |autor= Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales|isbn=84-239-7921-0 |cita= Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez". }}</ref><ref>{{Cita libro |título=Diccionario de Matemáticas |autor= A. Bouvier y M. George |editorial=AKAL|isbn=84-7339-706-1 |cita= Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen. }}</ref><ref>{{Cita libro |título=Enciclopedia didáctica de matemáticas |año=2001 |url=https://archive.org/details/enciclopediadida0000unse_s4d2 |autor= Equipo editorial |editorial=OCEANO|isbn=84-494-0696-X |cita= Seno-> ... sen â ... }}</ref> 

== Etimología ==
El astrónomo y matemático indio [[Aryabhata|Aria Bhatta]] (476–550 d.&nbsp;C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre [[sánscrito]] de ''ardhá-jya'',<ref>En el sitio [https://web.archive.org/web/20081204003039/http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm Centros5.Pntic.Mec.es] se refieren erróneamente a ''yia'' como ''[[jiva (sánscrito)|yivá]]'', que no significa «cuerda» sino «ser vivo».</ref> siendo अर्ध ''ardha:'' «mitad, medio», y ज्या ''jya:'' «cuerda»). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al [[idioma árabe|árabe]], se referían a este término como جِيبَ ''jiba'' . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado ''jb''. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que ''jb'' era la abreviatura de ''jiab'' (que quiere decir «bahía», «cavidad» o «seno»).

A finales del {{siglo|XII||s}}, el traductor italiano [[Gerardo de Cremona]] (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato ''jiab'' por su contraparte latina ''sinus'' (‘hueco, cavidad, bahía, seno’).
Luego, ese ''sinus'' se convirtió en el español «seno».<ref>{{Cita libro
 |autor=Howard Eves
 |título=An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237)
 |editorial=Saunders College Publishing House, New York
 |año=1990
}}</ref>

Según otra explicación,{{cita requerida}} la [[cuerda (trigonometría)|cuerda]] de un círculo se denomina en latín ''inscripta corda o'' simplemente ''inscripta''. La mitad de dicha cuerda se llama ''semis inscriptae''. Su abreviatura era ''s.&nbsp;ins.'', que terminó simplificada como ''sins''. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó ''sinus''.

== Definición ==

[[Archivo:Trigono b00.svg|right|thumb|280px|El seno de α es la [[Razón (matemática)|razón]] <math>\tfrac{a}{c} =\tfrac{BC}{AB}</math>]]
En [[trigonometría]], el '''seno''' de un [[ángulo]] <math>\alpha\,</math> de un [[triángulo rectángulo]] se define como la razón entre el [[cateto]] opuesto a dicho [[ángulo]] y la [[hipotenusa]]:
{{ecuación|

<math>\sin \alpha=\frac{a}{c} =\frac{BC}{AB}</math>

||left}}
Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una [[función (matemática)|función]] dependiente del ángulo <math>\alpha.</math>

Si <math>B</math> pertenece a la [[circunferencia goniométrica]], es decir, la [[circunferencia unitaria|circunferencia de radio uno]] con <math>O=A</math> se tiene:

:<math> \sin \alpha=a=BC \,</math>

Ya que <math>c=AB=1</math>.

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos agudos (no obtusos) y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector <math>\vec{AB}</math> mediante su descomposición en los vectores ortogonales <math>\vec{AC}</math> y <math>\vec{CB}</math>.

== Relaciones trigonométricas ==

El seno puede relacionarse con otras [[Función trigonométrica|funciones trigonométricas]] mediante el uso de [[identidades trigonométricas]].

El seno es una [[función impar]], es decir:
:<math> \sin \; (-x) = -\sin (x)</math>

El seno es una [[función periódica]] de periodo <math>2\pi</math>,
{{Demostración|título=<math> \sin \; \alpha=\;\;\;\sin \; ( \alpha + 2 k \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}</math>|1=Por inducción ya que aplicando un número par de veces <math> \sin \; \alpha=-\sin (\alpha + \pi)</math> se llega a todos los valores de k.
}}

=== En función del coseno ===

La curva del [[coseno]] es la curva del seno desplazada <math>\frac{\pi}{2}</math> a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

: <math> \sin \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right) </math>

Además, como la función coseno comparte la misma periodicidad <math>2\pi</math>, es posible generalizar a:
: <math> \sin \alpha=\cos\left(\alpha + \frac{(4k+1)\pi}{2}\right),\quad k \in \mathbb{Z} </math>
Como <math> \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>, despejando <math>\sin{\alpha}</math> se obtiene:
: <math>
   | \sin \alpha | =
   \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}
</math>

=== En función de la tangente ===
: <math>
   \sin \alpha =
   \cfrac{\sin \alpha}{1} \cdot \cfrac{\cfrac{1}{\cos\alpha}}{\cfrac{1}{\cos\alpha}} =
   \cfrac {\cfrac {\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cfrac {1}{\cos \alpha}} =
   \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha}
</math>
Podemos agregar que <math> \sin \alpha \cdot \sec \alpha = \tan \alpha
</math>,
y continuando <math> \sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha </math>, despejando y reemplazando <math>\sec \alpha</math> se obtiene:
: <math>
   \sin \alpha =
   \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha} =
   \cfrac {\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}}
</math>

=== En función de la cotangente ===
Sabiendo que <math> \sin \alpha = \frac{1}{\csc \alpha} </math>, y que <math> \csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha </math>, entonces:
: <math>
   \sin \alpha =
   \cfrac{1}{\csc \alpha} =
   \cfrac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}}
</math>

=== En función de la secante ===
: <math>
   \sin \alpha =
   \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha}
</math>

Como <math>\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha</math>, despejando y reemplazando <math>\tan \alpha</math> se obtiene:
: <math>
   \sin \alpha =
   \cfrac {\tan \alpha}{\sec \alpha} =
   \cfrac {\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}{\sec \alpha}
</math>

=== En función de la cosecante ===
El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:
: <math>
   \sin \alpha =
   \cfrac{1}{\csc \alpha}
</math> <ref>I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210 </ref>

=== Seno de la suma de dos ángulos ===

{{Demostración|título=<math>\sin\left(\alpha +\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta</math>

<math>\sin\left(\alpha -\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta</math>|1=
La '''demostración''' está en la sección de [[Identidades trigonométricas#Teoremas de la suma y diferencia de ángulos|identidades trigonométricas]].
}}

=== Seno del ángulo doble ===

{{Demostración|título=<math>\sin\left(2\alpha\right)=2\sin\alpha\cos\alpha</math>|1=
Como:

:<math>\sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math>

Bastará con el cambio <math>\beta=\alpha\,</math>
}}

=== Seno del ángulo mitad ===
{{Demostración|título=<math>\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \text{  para }k\in \mathbb{Z}</math>
|1=Usando las fórmulas:

:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,</math> y

:<math>\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sin^2\theta</math>

resulta:

:<math>\cos\left(2\theta\right)=1-2\sin^2\theta</math>
[[File:ValAbsSin07.svg|400px|thumb|Representación de <math>y\;=\;\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.</math>]]
y aislando <math>\sin \theta</math>:
{{ecuación|
<math>\vert \sin \theta \vert=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}</math>
||left}}
El cambio <math>\theta=\frac{\alpha}{2}</math> corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:
{{ecuación|
<math>0<\sin \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [0,\,\pi)+2k\pi, </math>
<math>0>\sin \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\pi,\,2\pi)+2k\pi</math>
||left}}
donde <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
}}

=== Suma de senos como producto ===

{{Demostración|título=<math>\sin a+ \sin b = 2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)</math>
<math>\sin a- \sin b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sin\left( \frac{a - b}{2} \right)</math>
|1=Usando '''seno de la suma de dos ángulos''' y con el cambio <math>a=\alpha+\beta, b=\alpha-\beta</math> se tiene:

:<math>\sin a =\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)+\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)</math>

:<math>\sin b =\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) -\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)</math>

Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.
}}

=== Producto de senos como suma ===

{{Demostración|título=
<math>\sin(\alpha)\sin(\beta)=\frac12 \left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)=\sin^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\sin^2 \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)= \cos^2 \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\cos^2 \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)</math>
|1=Usando las ecuaciones de [[Coseno#Coseno de la suma de dos ángulos|coseno de la suma de dos ángulos]] y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de [[Coseno#Coseno del ángulo doble|coseno del ángulo doble]] resulta la segunda ecuación.
}}

=== Potencias de senos ===
* <math> \sin^2 x = \frac{1}{2}( 1 - \cos 2x  ) </math>

* <math> \sin^3 x = \frac{1}{4}( 3\sin x - \sin 3 x )</math>

== Análisis matemático ==
=== Definición ===
La función '''seno''' puede definirse mediante un sistema de dos [[Ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] ordinarias:

:<math> dx/dt=y </math>

:<math> dy/dt=-x </math>

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es <math>x=\sin(t)</math> e <math>y=\cos(t)</math>.

=== Derivada ===
: <math>\sin'x=\cos x\,</math>

*Observación: <math>\sin'x=\sin\left ( x+\frac{\pi}{2} \right )</math>.

=== Como serie de Taylor===
El seno como [[Serie de Taylor]] en torno a ''a'' = 0 es:
: <math>
   \begin{align}
    \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \\
        & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{align}
</math>

=== Propiedades ===

* Es una  función [[función continua|continua]] en todo su [[dominio de definición]]. 
* Es una [[función trascendente]] pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.
* El seno es una [[función analítica]], esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.
* Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.
* Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.
* Tienen infinidad contable  de puntos de inflexión.
* Su gráfica es [[función cóncava|cóncava]] (hacia abajo) en <math>[2k\pi, (2k+1)\pi]</math>
* Su gráfica es [[Función convexa|convexa]] (hacia arriba) en <math>[(2k+1)\pi, 2(k+1)\pi]</math> <ref> Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275 </ref>

== Análisis complejo ==

En el [[plano complejo]] a través de la [[fórmula de Euler]] se tiene que:

{{Demostración|título=<math> {\sin}\ (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} </math>|1=

Dada la fórmula de Euler:

:<math>e^{iz}={\cos}\ (z)+i{\sin}\ (z)</math>

donde <math>e</math> es la [[número e|base del logaritmo natural]], e <math>i</math> es la [[unidad imaginaria|unidad]] de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a <math>e^{-iz}</math> se tiene también que:

:<math>e^{-iz}={\cos}\ (-z)+i{\sin}\ (-z)=</math> <math>{\cos}\ (z)-i{\sin}\ (z)</math>

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

:<math>e^{iz}-e^{-iz}=2i{\sin}\ (z)</math> <ref>A. Markushevich: ''Teoría de las funciones analíticas''' tomo I editorial Mir  Moscú (1970)</ref>

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.
}}

== En programación ==
Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.

La mayoría de los modelos de [[calculadora]]s están configurados y aceptan el valor de un [[ángulo]] cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular: [[grados sexagesimales]], grados centesimales y [[Radián|radianes]].

'''Ejemplos:'''

:Seno de 45 grados   = 0,7071
:Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo ''π'' es el [[número π|número Pi]]. Ejemplo de conversiones:

:Rad = Deg * π/180
:Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: <math>\pi</math> y 90°:

:<math>\sin \pi = 0</math> en caso del modo de radianes activo.
:<math>\sin 90 = 1</math> en caso del modo de grados sexagesimales activo.

== Representación gráfica ==
<!-- [[Archivo:Trigono 010.svg|thumb|left|300px]] -->
[[Archivo:Función Trigonométrica R100.svg|thumb|center|600px]]

== Véase también ==
* [[Función impar]]
* [[Función periódica]]
* [[Sinusoide]]
* [[Período de oscilación]]
* [[Teorema del seno]]
* [[Trigonometría]]
* [[Función trigonométrica]]
* [[Seno polar]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|Sine|Seno}}
* [https://es.calameo.com/books/00127231629d48fe52231 Defición de Ladoseno, Sectoseno y Función Sectorial.]
{{Funciones trigonométricas e hiperbólicas}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Funciones trigonométricas]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]